Математическая статистика
Основная (нулевая) гипотеза – выдвинутая гипотеза Н 0.
Конкурирующая (альтернативная) гипотеза – гипотеза, которая противоречит основной. Например, основная гипотеза Н 0: а = 10,8. Тогда конкурирующей является гипотеза Н 1 : а ≠ 10,8.
Статистическим
критерием
называют случайную величину К, которая
служит для проверки нулевой гипотезы.
Например, если проверяют гипотезу о
равенстве дисперсии двух нормальных
генеральных совокупностей (Н 0:
σ12
= σ2 2
), то в качестве критерия принимается
отношение исправленных выборочных
дисперсий: F =
.
В частности, если по двум выборкам,
извлеченным из нормальных генеральных
совокупностей, найдены выборочные
дисперсии s12
= 20 и s2 2
= 5, то наблюдаемое значение критерия
Fнабл.
= 4.
Критическая область. Область принятия гипотезы.
Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками (границами).
Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > k кр. , где k кр. – положительное число. Нулевая гипотеза отвергается.
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k кр. , где k кр. – отрицательное число. Нулевая гипотеза принимается.
Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К < k 1 кр. , К > k2 кр. , где k 2 > k1 . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами К < - k кр. , К > k кр. или равносильным неравенством | К | > k кр.
Условие Р (К > k кр.) = α – принятый уровень значимости (малая величина) означает, что событие К > k кр. маловероятно, т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше k кр. ложно, и следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута.
Пример 1. Соотношением вида Р( К > 1,49) = 0,09 можно определить
(отв. – правостороннюю критическую область)
Интервальные оценки параметров распределения
доверительный интервал для выборочной средней выборки :
( - δ; + δ ), где δ – точность оценки.
Пример 2. Точность оценки математического ожидания нормального закона распределения 12,04. Тогда его интервальная оценка с точностью 1,66 имеет вид
(отв. ( 10,38; 13,70 )
Интервальная оценка для среднего квадратического отклонения σ нормального распределения s ( 1 – q) < σ < s ( 1 + q) при q < 1 или
0 < σ < s ( 1 + q) при q > 1.