Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Суммой (А+В) двух событий, называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Пример Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.

П онятие суммы событий можно проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна. Пусть событию А соответствует взятие наугад точки плоскости из области А, а событию В – взятие точки из области В, то сумме событий соответствует попадание точки в область АВ (рис. 1).

Причем а) соответствует случаю несовместных событий, а

б) – для совместных событий.

Теорема (сложения вероятностей) Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (3).

Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.

С обытие А называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит.

П ротивоположные события всегда несовместны. Легко видеть, что Р(А+А)=Р(А)+Р(А)=1 (4).

Пример В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему сложения вероятностей для вычисления искомой вероятности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=

Теорема сложения для совместных событий будет рассмотрена ниже.

Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.

Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называется событие наступления всех этих событий.

Например, двукратное попадание в цель есть произведение двух событий.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым от события В.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого, зависимыми – в противном случае.

Теорема (умножения вероятностей) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)(5).

Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается Р_В(А).

Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А) (6).

Пример Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?

Решение: Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда АВ – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

Заметим, что полученная в решении вероятность 0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!

Теорема (расширенная теорема сложения) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения):

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (7).

Пример В электрическую цепь последовательно включены 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.

Решение: Событие А – выход из строя первого предохранителя, В – второго, А+В – выход из строя хотя бы одного из них. События А и В совместны и независимы, поэтому по расширенной теореме сложения получим: