Лекция_3. Элементы теории вероятностей.

Элементы теории вероятностей.

Классическое и статистическое определения вероятности.

Теория вероятностей изучает количественные закономерности, которым подчиняются совокупности большого числа объектов. Вероятностный и статистический метод в науке позволяет более глубоко анализировать массовые явления с учетом случайностей и все чаще применяется в различных отраслях науки.

Первичным (неопределяемым) понятием в теории вероятностей является понятие события.

Под событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит (имеет место) или не происходит.

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

Например:

1. из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают черный шар;

2. на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3. при бросании игральной кости выпала цифра 7.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Событие называется случайным, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании.

Наступление каждого события зависит от многих факторов, заранее учесть которые обычно невозможно. Однако в случае совокупности однородных (массовых) событий можно обнаружить закономерности, позволяющие предсказать, насколько достоверно наступление того или иного события, т.е. насколько это событие вероятно.

Понятие вероятности вводится для того, чтобы выражать на языке чисел степень возможности наступления тех или иных событий.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

0Р(А)1.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого (всех остальных).

Пример Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны.

Этот же пример иллюстрирует события, называемые равновозможными, – ни одно из них не является более возможным, чем другое.

События А, В, С, …, К называются единственно возможными, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий.

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А₁, А₂, А₃, …, А_n (элементарные исходы опыта), которые являются:

1) единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2) несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3) равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (kn). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

(классическое определение вероятности).

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Обозначают:

Р(А)= (1)

(от латинского слова probabilitas – вероятность).

Пример. Набирая номер телефона, вы забыли последнюю цифру и набрали ее наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная цифра?

Решение: Ясно, что число всех элементарных исходов n=10. Все они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Поэтому можно применить классическое определение вероятности. Число благоприятствующих исходов k=1. Поэтому Р(А)=

Пример Из слова “математика” выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»?

Решение: Пусть событие А – состоит в случайном выборе из данного слова буквы «м», тогда, т.к. n=10 и k=2, то Р(А)= 

В случае, когда условия классического определения вероятности не выполняются или когда множество рассматриваемых элементарных событий не является конечным, классическое определение вероятности не применимо. Так в ряде задач условие равновозможности не выполняется или установить эту равновозможность бывает затруднительно. Тогда пользуются статистическим определением вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события.

Частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа К испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу N фактически проведенных испытаний:

(2)

Заметим, что вероятность по определению вычисляют до опыта, а частоту после опыта. При небольшом числе испытаний частота событий во многом случайна, но при его увеличении ее значение приближается к некоторому постоянному числу (это многократно проверялось на опыте). Т.к. вероятность события объективно характеризует степень его возможности, то при достаточно большом числе испытаний частота практически равна вероятности. Т.о. частоту события А называют статистической вероятностью этого события.