2.2. Властивості сніжинки Коха

Властивість 1. Крива K (див. означення) є самоподібною кривою із розмірністю самоподібності [13:62].

Доведення. Якщо взяти копію K, зменшену в три рази, то усю множину K можна скласти з чотирьох таких копій. Отже, крива K є самоподібною із розмірністю самоподібності . Доведено.

Властивість 2. Сніжинка Коха має нескінченну довжину.

Доведення. Досить показати, що кожний з трьох фракталів K, отриманих ітераціями (рис. 2.1), має нескінченну довжину. Нехай вихідний відрізок має одиничну довжину. Тоді довжина кривої рівна . Довжина кривої рівна . Продовжуючи таким чином маємо, що крива після n-го кроку має довжину . Отже, довжина граничної кривої K рівна нескінченності: . А це і доводить, що сніжинка Коха має нескінченну довжину [8:19]. Доведено.

Властивість 3. Частина площини, яку обмежує сніжинка Коха, має площу , де a – довжина сторони початкового рівностороннього трикутника.

Доведення. Нехай – площа початкового рівностороннього трикутника (нульовий крок), на першому кроці до нього добудовуємо три трикутники, площа кожного з яких рівна (бо сторона зменшилася в три рази). Отже, площа фігури, утвореної на першому кроці . На другому кроці додається ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює . Отже, площа фігури, одержаної на другому кроці буде . На третьому кроці додаємо ще трикутники, площа кожного з яких дорівнює і загальна площа фігури після трьох кроків побудови буде , . На n-ому кроці до побудованої фігури добудуємо трикутники, площа кожного з яких , загальна площа фігури після n кроків побудови буде . Спрямувавши кількість кроків до нескінченності одержимо площу частини площини, обмеженої сніжинкою Коха. , де a - довжина сторони початкового рівностороннього трикутника. Отже, . Доведено.

В

Рис. 2.4.

ластивість 4. Точки і , що ділять відрізок на три рівні частини, належать сніжинці Коха (рис. 2.4) [3].

Доведення. Проведемо , . Доведемо, що точки і співпадають. Згідно означення сніжинки Коха .

Трикутник подібний трикутнику за двома кутами. Отже, , , таким чином, , , . Отже, точки і співпадають. Доведемо, що точка належить сніжинці Коха. Для цього покажемо, що . З подібності трикутників і маємо . Отже . Ми одержали, що трикутник рівнобедрений із кутом , бо . Отже, трикутник рівносторонній. Таким чином , а це і доводить, що точка належить сніжинці Коха. Аналогічно доводиться, що точка належить сніжинці Коха. Доведено.

Наслідок. До сніжинки Коха можна приєднати шість сніжинок Коха, які подібні до початкової з коефіцієнтом подібності , так, що кожна точка початкової сніжинки Коха належить принаймні одній з приєднаних сніжинок [3].

Властивість 5. Крива К неперервна і не має дотичної в жодній своїй точці [28].

2.3. Острівець Коха та його властивості

Означення 4. Острівцем Коха називається сніжинка Коха разом із частиною площини, яку вона обмежує (рис 2.5).

Рис 2.5.

Властивість 1. До острівця Коха можна приєднати шість острівців Коха, які подібні до початкового з коефіцієнтом подібності , так, що між ними не залишиться точок, які не належать жодному острівцю Коха.

Доведення. Цей факт випливає з наслідку із властивості 4 сніжинки Коха [2].

Наслідок. Острівець Коха розпадається на 7 острівців (рис. 2.6), причому центральний острівець подібний до великого з коефіцієнтом подібності , а решта шість – з коефіцієнтом подібності .

Властивість 2. Острівець Коха є самоподібною фігурою розмірності два.

Доведення. Згідно з вище наведеним наслідком, острівець Коха можна розбити на сім острівців (рис. 2.6).

Рис 2.6.

Більший з одержаних острівців подібний до початкового острівця із коефіцієнтом подібності . Дійсно, нехай діаметр початкового острівця Коха дорівнює два, тобто . Згідно з властивістю сніжинки Коха, більший з отриманих острівців подібний до початкового острівця. Для знаходження коефіцієнту подібності знайдемо відношення півдіаметрів цих острівців Коха. Легко видно, що трикутник правильний, , тому OD=1/2, Звідси . Отже .

Згідно з вище наведеним наслідком, менші з одержаних острівців подібні до більшого острівця з коефіцієнтом подібності , тому вони подібні до початкового острівця з коефіцієнтом подібності . Складаємо рівняння , з якого і знаходимо розмірність самоподібності острівця Коха . Доведено.

Властивість 3. Існує неперервна крива, яка проходить через усі точки острівця Коха [2].

Доведення. На першому етапі розіб’ємо острівець Коха на сім острівців і пронумеруємо отримані острівці цифрами від 0 до 6 (рис. 2.7). Поставимо у відповідність кожному острівцю відрізок довжини (рис. 2.8). Так острівцю з номером 0 відповідатиме відрізок [0; ], острівцю з номером 1 відповідатиме відрізок [ ; ] і т.д. Перейшовши до сімкової системи числення, отримаємо відповідність:

острівцю з номером 0 – відрізок [0; 0,1₇],

острівцю з номером 1 – відрізок [0,1₇; 0,2₇],

острівцю з номером 2 – відрізок [0,2₇; 0,3₇],

...

острівцю з номером 6 – відрізок [0,6₇; 1].

На другому етапі кожен із острівців знову розбиваємо на 7 острівців, а кожен з відрізків на 7 відрізків і знову встановлюємо відповідність між острівцями і відрізками.

Острівцю з номером 00 відповідає відрізок [0; 0,01₇],

острівцю з номером 01 відповідає відрізок [0,01₇; 0,02₇],

...

острівцю з номером 66 відповідає відрізок [0,66₇; 1].

Процес розбиття острівця на сім острівців можна продовжувати нескінченно, тому отримаємо відображення острівця Коха на відрізок [0;1]. При цьому кожній точці острівця відповідає деяка (можливо не єдина) точка відрізка [0;1]. Справді, візьмемо довільну точку Х острівця Коха і побудуємо для неї послідовність вкладених острівців, що містять точку Х. Ця послідовність задовольняє умови теореми про вкладені замкнені множини [7:70], і тому існує єдина точка (це точка Х), яка належить всім членам послідовності вкладених острівців. Для цієї послідовності острівців існує послідовність відповідних відрізків, яка в свою чергу задовольняє умовам теореми Кантора про вкладені відрізки [7]. Тому існує єдина точка на відрізку [0;1], яка відповідає точці Х.

Таким чином, можна побудувати неперервну криву, яка за одиничний відрізок часу пройде через усі точки острівця Коха. Доведено.

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

З властивості 3 слідує, що використовуючи генератор (рис. 2.9) на другому кроці побудови отримаємо певну криву (рис. 2.10) [13:104], а на п-ому кроці побудови отримаємо острівець Коха.

Рис. 2.9. Рис. 2.10.