3. Формула Друде – Лоренца

Преобразуя (5.11) с учетом (5.7), удельное сопротивление можно выразить через подвижность электронов:

. (5.12)

Величина, обратная удельному сопротивлению , называется удельной проводимостью . Используя понятие удельной проводимости, выражение (5.12) можно записать в виде

. (5.13)

Как видно из (5.13), удельная проводимость пропорциональна концентрации электронов проводимости n и их подвижности .

Соотношение (5.13) носит универсальный характер, является справедливым как для твердых тел (металлов, полупроводников, диэлектриков), так и для жидкостей и газов и известно под названием формула Друде-Лоренца.

4. Зависимость сопротивления r от температуры

Найдем температурную зависимость удельного сопротивления, используя основные положения КЭТ. Для этого в формуле (5.11) представим среднее время свободного пробега электронов в виде отношения средней длины свободного пробега к средней тепловой скорости:

. (5.14)

Величину средней тепловой скорости можно найти из выражения (5.3). Она совпадает со средней тепловой скоростью идеального одноатомного газа:

. (5.15)

Подставляя (5.15) в (5.14), а затем (5.14) в (5.11), получаем температурную зависимость удельного сопротивления  (T):

. (5.16)

Длина свободного пробега <> обратно пропорциональна давлению электронного газа P, а, следовательно, температуре T, так как для идеального газа основное уравнение молекулярно-кинетической теории записывается как P=nkT. Поэтому из формулы (5.16) следует, что КЭТ предсказывает нелинейную зависимость удельного сопротивления от температуры . Из опыта известно, что в широкой области температур удельное сопротивление металлов , а удельное сопротивление полупроводников , где A  константа. Несоответствие экспериментальной и предсказываемой КЭТ температурных зависимостей удельного сопротивления металлов и полупроводников является следствием того, что в КЭТ электроны рассматриваются как классические частицы, а совокупность их  электронный газ  как идеальный классический газ, описываемый распределением Максвелла-Больцмана.

Многие проблемы, в том числе и электросопротивление твердых тел, в настоящее время в основном решены с помощью квантовой физики, где показывается, что в металлах энергия свободных электронов, ответственных за электропроводность, намного превышает тепловую даже при температурах, близких к температуре плавления. Поэтому температурно-зависимой величиной в (5.14) будет только средняя длина свободного пробега, которая, как было показано выше, обратно пропорциональна температуре. Следовательно, удельное сопротивление в соответствии с (5.11) будет пропорционально температуре.

Как видно из формулы Друде-Лоренца, электропроводность определяется концентрацией и подвижностью носителей заряда. Важным выводом из расчетов электропроводности в рамках квантовой физики является то обстоятельство, что для металлов концентрация носителей заряда, ответственных за проводимость, не зависит от температуры. Температурная зависимость электропроводности металлов определяется температурной зависимостью подвижности. Противоположная ситуация имеет место в полупроводниках. Температурная зависимость электропроводности полупроводников определяется, как правило, в основном сильной (экспоненциальной) температурной зависимостью концентрации носителей заряда, температурная же зависимость подвижности в полупроводниках хотя и имеет место, но в электропроводности проявляется весьма незначительно. В инженерной практике оказывается удобным использовать следующую форму записи для температурной зависимости удельного сопротивления металлов:

, (5.17)

_о  удельное сопротивление металла при 0 ^оС; t  температура в градусах Цельсия;   коэффициент. Легко показать, исходя из пропорциональности удельного сопротивления термодинамической температуре, что  = 1/273 K^-1. Из опыта могут получаться несколько иные значения, что связано с приближенным характером выражения (5.17).

Сопротивление примесных полупроводников определяется формулой

,

где R_o  константа (включающая подвижность), слабо зависящая от температуры; E  энергия активации, или ионизации примесей, та энергия, которую необходимо затратить, чтобы электрон примесного атома стал свободным и принимал участие в электрическом токе; k  постоянная Больцмана. Для определения энергии активации удобно прологарифмировать выражение для R(T) и умножить и разделить на 10³ второе слагаемое:

, (5.18)

где

.

Из измеренных зависимостей R(T) для металла и полупроводника и формул (5.17) и (5.18) в данной лабораторной работе определяют удельное сопротивление металла (20 ⁰С), температурный коэффициент сопротивления металла , энергию активации примесей для полупроводника E. Удельное сопротивление металла определяют при 20 ⁰C, потому что именно при этом значении температуры принято сопоставлять различные металлы по величине сопротивления.

Описание экспериментальной установки

Одним из наиболее точных методов измерения сопротивления является метод, использующий так называемый мост резисторов. Схема его приведена на рис. 5.1. Такой мост называется мостом Уинстона (Winston).

Рис. 5.1.

Медная проволока, сопротивление которой и измеряется в данной работе, намотана в виде катушки и обозначена на схеме как резистор R_х. Резистор R на схеме обозначен стрелкой  его величину можно изменять дискретно в широких пределах. Такое устройство называется магазином резисторов, или магазином сопротивлений. Участок цепи AB представляет собой однородную по сечению проволоку с большим удельным сопротивлением. Обычно такая проволока изготавливается из сплава никеля и хрома (нихрома). Удельное сопротивление нихрома примерно на два порядка превышает удельное сопротивление меди и составляет  10⁶ Омм. По проволоке AB можно перемещать подвижной контакт D. Такое устройство называется реохордом. Между точками C и D включен чувствительный гальванометр G. Резисторы R_х, R, R₁, R₂ называются плечами моста. При замыкании ключа K по ветвям ACB и ADB потечет ток. По участку цепи CD тоже будет течь ток, направление которого зависит от соотношения потенциалов точек C и D. Очевидно, потенциал _С в точке C имеет промежуточное значение между _А и _В. Поэтому на участке AB можно найти точку D, потенциал которой равен потенциалу точки C. В этом случае ток через гальванометр равен нулю. Говорят, что мост сбалансирован. В этом случае между плечами моста имеется определенная функциональная зависимость:

. (5.19)

Проще всего получить эту зависимость, записав правила Кирхгофа для узлов C и D, контуров ACDA и CBDC:

,

,

,

,

где R_G и J_G  соответственно сопротивление гальванометра и ток через него. При условии баланса моста (J_G = 0) эти уравнения упрощаются, откуда непосредственно следует выражение (5.19). Так как проволока AB является однородной, то

где *  удельное сопротивление нихрома; S,  площадь поперечного сечения и длина нихромовой проволоки. С учетом этого обстоятельства, используя (5.19) расчетную формулу для вычисления R_x можно записать в виде:

. (5.20)