Расчетное задание № 1.

Исследование переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами.

1. Программа работы.

• Для заданной схемы с сосредоточенными параметрами (контур второго порядка) составить уравнения, описывающие процессы в схеме.

• Рассчитать переходные процессы в контуре (напряжение на емкости, ток в индуктивности) при включении постоянной э.д.с. с помощью численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Подобрать величины активных сопротивлений таким образом, чтобы переходный процесс в контурах имел колебательный характер.

• Оценить максимальные значения напряжений и токов в переходном процессе по инженерной методике и сравнить с результатами расчета численным методом.

• Рассчитать переходные процессы в контуре при включении переменной э.д.с. при углах включения и .

• Составить отчет, проанализировать полученные результаты.

2. Математическая модель электромагнитных переходных процессов в схемах с сосредоточенными параметрами.

   Для решения любой инженерно-технической проблемы необходимо составить простейшую схему замещения, которая с достаточной для практики точностью воспроизводит основные характеристики процесса. Так, например, анализ переходных процессов, возникающих в электроустановках при какой либо коммутации, можно провести в эквивалентной схеме замещения, которая должна быть составлена таким образом, чтобы с достаточной точностью воспроизводить максимальные напряжения и токи в наиболее важных точках цепи, а также частоту колебаний этих напряжений и токов. Инженер должен ориентироваться в характере влияния активных и реактивных элементов ( R, L, C) на переходные процессы, уметь составлять эквивалентные схемы сетей в зависимости от частоты или длительности исследуемых процессов.

Для анализа переходных процессов в схеме с сосредоточенными параметрами необходимо записать уравнения, описывающие процессы в схеме. При современном уровне развития вычислительной техники дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях можно решить, используя численные методы расчета. Для этого необходимо записать полученные уравнения в форме Коши:

(1.1)

R L

e(t) C

Рис.1.1. Пример расчетной схемы.

Например, переходные процессы в контуре R,L,C, изображенном на рис. 1.1, описываются следующей системой уравнений:

(1.2)

Уравнения (1.2) в форме Коши будут иметь вид:

(1.3)

Решить систему уравнений, описывающую процессы в заданной схеме, можно при помощи одной из систем инженерных и научных расчетов MathCAD (MathCAD 7/0 PRO) или MATLAB (MATrix LABarotatory), в состав которых входят в том числе функции численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим примеры решения системы уравнений (1.3) в обеих этих системах.

1. Пример решения уравнений в системе MathCad.

В МathCAD введен ряд функций [2], дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Остановимся на одной из них:

rkfixed(X,T1,T2,n,D) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта

системы обыкновенных дифференциальных

уравнений с начальными условиями в векторе X,

правые части которых записаны в символьном

векторе D, на интервале от T1 до T2 при

фиксированном количестве шагов расчета n.

Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Исходные данные:

R:=100 L:=1 C:=10^-6

e(t):=1 To:=0 Tmax:=0.1

Решение:

- параметр системы

- вектор начальных условий

- система дифференциальных уравнений

- задание решения

n:=0…1000 - номера шагов расчета, выводимых на график

График тока во времени (t=T_ma.x./N)

График изменения напряжения во времени

Рис.1.2. Решение системы дифференциальных уравнений с применением функции

rkfixed ( включение схемы на постоянную э.д.с.)

Рис.1.2. иллюстрирует технику решения системы из двух дифференциальных уравнений (1.3) и построение расчетных кривых изменения тока и напряжения во времени. В расчете введены следующие обозначения:

X - вектор начальных условий (U_С = 0, i₀ = 0 ),

X₀ - обозначение переменной, производная которой вычисляется в первом

уравнении системы (1.3),

X₁ - обозначение переменной, производная которой вычисляется во втором

уравнении системы (1.3),

D(t,X) - матрица, вычисления правых частей дифференциальных уравнений,

T₀ и T_max – время начала и конца расчета.