Лекция 6

3. Основы квантовой статистики

Задачей квантовой статистики, которой посвящен данный раздел, является описание свойств системы (ансамбля) из большого числа микрочастиц, волновыми свойствами которых нельзя пренебречь. В этом случае микрочастицы, составляющие коллектив, представляют квантовые объекты, т.е. их поведение подчинено соотношениям и принципам квантовой (волновой) механики.

Это, в частности, означает, что свободные электроны, образующие в металли-ческих и полупроводниковых кристаллах электронный газ, по своим свойствам отличны от молекул идеального газа. Поэтому и законы статистического распределения этих частиц оказываются также различными: идеальный газ подчиняется статистике Максвел­ла-Больцмана, а электронный газ - квантовой статистике Фер­ми-Дирака. То же касается и описания колеблющихся атомов, образующих твердое тело. Система упругих волн смещений атомов из положения равновесия (газ фононов) также описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна, а не классической статистикой Максвел­ла-Больцмана.

3.1. Квантовый ансамбль микрочастиц

Статистическое описание квантовых ансамблей частиц принципиально отличается от классического по следующим причинам. Во-первых, энергия микрочастиц, находящихся в ограниченной области простран­ства, квантуется, т.е. принимает дискретный набор значений энергии. Во-вторых, в классической статистической физике волновыми свойствами частиц коллектива можно пренебречь, так как их длина волны де Бройля  при обычных температурах ока­зывается меньше характерных пространственных параметров микро­частиц. Например, для атома водорода при комнатной температуре  сравнима с его размерами и на несколько порядков меньше среднего расстояния между частицами. В случае квантовых объектов приходит­ся описывать их поведение волновой функцией, определяющей "квантовое состояние" микрочастиц, обусловленное полным набором некоторых динамических параметров.

Если силовое, например, кулоновское взаимодействие между час­тицами коллектива настолько мало, что потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической, то ансамбль будет представлять идеальный газ, в котором частицы мож­но считать квазисвободными, а их волновые функции - плоскими или сферическими волнами.

Важнейшим принципом, используемым при описании квантовых ансамблей, является принцип "тождественности", т.е. неразличимости одинаковых по природе (обладающих одинаковой массой, зарядом, спином) микрочастиц, входящих в состав ансамбля. Этот принцип, введенный американским физиком Дж. Гиббсом еще в 1903 г. в клас­сической статистической механике, означает, в случае квантовых объ­ектов, что обмен местами двух частиц, находящихся в состояниях, описываемых волновыми функциями _i и _j , не является "физичес­ким событием", т.е. не изменяет состояние системы. Это означает, что если, например, после взаимодействия (столкновения) двух таких тождественных частиц мы обнаруживаем одну из них вблизи некоторой точки пространства, то не существует возможности указать, какая именно из них туда попала.

Поскольку поведение квантового объекта имеет вероятностный ха­рактер, т.е. динамические параметры (например, координаты) суть слу­чайные величины, то в случае различимости двух событий А и В (прин­ципиальной возможности указать, какое именно из них произошло в дан­ном опыте), в которых данный параметр принимает значения Х_А и Х_В с вероятностями W_Аи W_В, справедливы следующие утверждения:

• если события А и В несовместимы, т.е. не могут наступить оба вместе, то вероятность того, что произойдет либо А, либо В (W_А+B) равна сумме вероятностей отдельных событий: W_А+B = W_А + W_В (на­пример, выпадение либо цифры "1", либо цифры "2" на верхней грани одного игрального кубика);

• если события А и В статистически независимы, т.е. W_А не зави­сит от того, произошло ли событие В, то вероятность того, что од­новременно произойдут события и А, и В (W_АB), равна произведе­нию вероятностей этих независимых событий: W_АB = W_АW_В (на­пример, одновременное выпадение цифры "1" на верхних гранях двух игральных кубиков).

Если (r)² есть плотность вероятности обнаружения микрочасти­цы вблизи точки, положение которой характеризуется радиус-вектором r, то плотность вероятности обнаружения данной частицы либо вблизи r_1, либо вблизи r₂ равна (r₁)² + (r₂)², так как эти со­бытия одновременно несовместимы. То же относится и к случаю двух различных, т.е. нетождественных микрочастиц - плотность вероятно­сти обнаружения вблизи точки r либо частицы "1", либо частицы "2" есть ₁(r)² + ₂(r)². В этом случае события взаимоисключены в том смысле, что вследствие различимости частиц мы можем точно указать, какая именно из них оказалась вблизи данной точки, т.е. ко­нечные состояния различимы и определена их вероятность для каждой из частиц в отдельности. Таким образом, если несколько взаимоис­ключающих конечных состояний можно принципиально отличить, то полная вероятность данного события, например, попадание данной частицы в одну из точек с координатами ₁, ₂, …, _n или попадание одной из n различных частиц в данную точку , есть сумма вероятно­стей, описывающих получение каждого из состояний: или , где в первом случае суммирование идет по числу точек пространства, а во втором - по числу частиц.

Применяя второе из приведенных выше положений теории вероят­ности к квантовому поведению микрочастиц, получаем, что если дан­ная микрочастица участвует в нескольких независимых процессах, каждый из которых описывается волновой функцией _i (например, электрон переходит от источника к атому кристаллической решетки (₁), рассеивается на нем (₂), попадает в данное место экрана (₃)), то плотность вероятности, описывающая весь процесс, равна произве­дению плотностей вероятности для каждого из процессов, т.е. .

То же относится и к системе, состоящей из n невзаимодействующих частиц: плотность вероятности того, что частицы окажутся одновре­менно в определенном положении ( ₁, ₂, …, _n), равна произведению плотностей вероятности для каждой из различных частиц оказаться в данном положении. Отсюда следует, что результирующая волновая функция (амплитуда вероятности), описывающая систему невзаимо­действующих частиц, равна произведению волновых функций каждой из частиц системы, т.е. .

В случае же неразличимости альтернативных процессов, напри­мер, нескольких возможных путей данного, т.е. зарегистрированного на экране электрона после его рассеяния на одном из атомов кристал­лической решетки (на каком именно мы принципиально не можем указать), или при попадании в данную точку (в малый объем (dV_o, вблизи точки r) одной из двух тождественных частиц ситуация прин­ципиально иная. В этом случае, согласно одному из основных прин­ципов квантовой механики, необходимо рассматривать интерферен­цию волновых функций, т.е. результирующая волновая функция (_рез), определяющая вероятность обнаружения микрочастицы вблизи дан­ной точки, есть сумма волновых функций (_i), описывающих нераз­личимые процессы, рассматриваемые порознь: _рез = . Поскольку этот вопрос очень важен для понимания дальнейшего материала, ос­тановимся на нем подробнее.

Из рассмотренного в лекции 5 опыта по дифракции микрочастицы на отверстии (рис. 2.2) следует, что при переходе от отверстия к экрану она ведет себя как плоская волна, так как описание ее поведения воз­можно в рамках метода зон Френеля, заложенного в условии миниму­ма интерференции. Таким образом, описывая поведение, например, электрона -функцией, формально обладающей свойствами классиче­ских волн, и не зная, в каком месте отверстия он мог пройти перед тем, как попасть на экран, мы фактически складываем в данном месте экрана волны де Бройля (волновые функции), приходящие от каждого "точеч­ного" (по аналогии с принципом Гюйгенса) источника, в плоскости от­верстия. Другими словами, если существует ряд альтернативных не- различимых вариантов попадания электрона в данное место экрана из различных точек отверстия, то результирующая волновая функция, описывающая поведение электрона на экране, есть сумма волновых функций, определяющих вероятности его попадания туда от всех точек экрана.

В этом примере рассматривались неразличимые возможные пути достижения данного состояния (например, значений координат) одной частицей. Теперь рассмотрим ансамбль, состоящий из n частиц, сило­вое взаимодействие между которыми мало (идеальный газ), и будем наблюдать частоту  появления вблизи данной точки с координатой r одной из них. В случае различимости микрочастиц, как уже отмеча­лось, плотность вероятности обнаружения вблизи r какой-либо из них равна сумме плотностей вероятности обнаружения каждой, т.е. , , где  описывает состояние, когда в данную точку попадает i-я частица.

В системе из n тождественных частиц перестановка местами лю­бой пары частиц (означающая обмен состояниями, т.е. волновыми функциями) приводит к двум тождественным состояниям ансамбля, и, следовательно, представляет два неразличимых пути достижения данного состояния. В этом случае, согласно сказанному выше, волновая функция (r), описывающая вероятность обнаружения в данной точке любой из частиц, есть сумма волновых функций, описывающих со­стояния, в которых вблизи данной точки находится одна из них (в dV_o вблизи ), т.е. (r, r_i)= , где r_i - координата i-й частицы, переставляемой с частицей, находящейся в точке .

Поскольку при перестановке тождественных частиц состояние системы не меняется, т.е. в двух состояниях, соответствующих об­мену местами двух частиц, энергия системы одна и та же, то имеет место вырождение (т.е. ситуация, когда различным квантовым со­стояниям соответствует одно и то же значение энергии) нового типа. Гейзенберг назвал его "обменным" вырождением состояния. Это вырождение не может быть снято внешним воздействием, как это наблюдается, например, в атоме водорода (cм. лекцию 5) в при­сутствии внешних полей, именно вследствие тождественности этих состояний.