- •Глава 5. Производящие функции и z-преобразование
- •5.1 . Производящая функция последовательности. Связь с рекуррентным уравнением
- •3) Если воспользоваться известным разложением в степенной ряд (ряд Ньютона )
- •Связь с производящей функцией
- •Основные свойства (теоремы) z-преобразования
- •Дифференцирование изображения. Если f ( n ) f ( z ), то
- •(Решетчатых функций)
- •Операционный подход к решению линейного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами
- •Примеры задач с решениями
- •Представляем элементарные дроби в виде сумм геометрических прогрессий
- •Подставив в f (n) формулы Эйлера и Муавра для комплексных чисел и их степеней
- •Используя результаты пункта a, получаем
- •Далее, учитывая равенство , представим f (z) в виде двух слагаемых
Глава 5. Производящие функции и z-преобразование
5.1 . Производящая функция последовательности. Связь с рекуррентным уравнением
Важную роль в задачах исследования дискретных объектов играют производящие функции числовых последовательностей. Они, в частности, находят применение как при построении, так и при нахождении аналитических решений (формул общих членов последовательностей) рекуррентных уравнений, описывающих динамику дискретных (импульсных ) систем.
Производящая функция (в традиционном, классическом понимании) бесконечной числовой последовательности f ( n ) ( n = 0,1,2,...) – это аналитическая в интервале | x | < R функция f ( x ), определяемая степенным рядом ( рядом Маклорена )
( 5.1 )
в окрестности нулевой точки x = 0 , являющейся правильной (регулярной) точкой функции f (x ).
Так, например:
из известной формулы для бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
следует - функция
при | x | < 1
является производящей функцией для единичной числовой последовательности
f (n) = 1 (n = 0,1,2, ... );
2) если принять, что при n < k, то выражение (3.9) для бинома Ньютона при y = 1 можно записать в виде бесконечной суммы
т.е. функцию можно назвать производящей функцией для бесконечной последовательности числа сочетаний ( k = 0,1,2,... );
3) Если воспользоваться известным разложением в степенной ряд (ряд Ньютона )
то функция - производящая функция для следующей бесконечной последовательности числа сочетаний (k = 0,1,2, ...).
Определение производящей функции числовой последовательности, удовлетворяющей линейному однородному рекуррентному уравнению с постоянными коэффициентами
и заданным начальным условиям f ( i ) (i = 0,1, ... , k–1).
Из литературы известно [1,2] (да это и самим несложно показать), что искомая производящая функция f ( x ) числовой последовательности f ( n ) в данном случае будет являться дробно-рациональной функцией (правильной рациональной дробью )
, ( 5.2 )
в которой числитель и знаменатель – полиномы
( 5.3 )
причем коэффициенты полинома A ( x ) в (5.3) можно записать сразу, так как они совпадают с коэффициентами рекуррентного уравнения, а для коэффициентов полинома B ( x ) будет справедлива следующая система равенств
( 5.4 )
Таким образом, определение искомой производящей функции f ( x ) – рациональной дроби (5.2) не представляет труда и фактически сводится к вычислению неизвестных коэффициентов полинома в знаменателе с помощью простой системы равенств (5.4).
Восстановление числовой последовательности по производящей функции (см. пример 5.1). Решение данной задачи можно осуществить посредством разложения имеющейся дробно-рациональной производящей функции f ( x ) в степенной ряд Маклорена (5.1). Если такое разложение получено (коэффициенты разложения, как известно, равны значениям производных рациональной дроби в точке х = 0 ), то любой элемент f ( n ) искомой последовательности есть не что иное, как коэффициент степенного ряда (5.1) при .
Z - преобразование последовательности.