3.4. Множення чисел з плаваючою комою

Для чисел і , що представлені в формі з плаваючою комою, добуток обчислюється за формулою:

,

де , .

Звідси випливає, що процес множення складається з чотирьох етапів:

• множення мантис;

• додавання порядків;

• нормалізація й округлення мантиси добутку;

• корегування порядку добутку.

Перші два етапи можуть виконуватись одночасно, оскільки вони незалежні один від одного. При цьому множення мантис може бути здійснене будь-яким з розглянутих методів множення.

У загальному випадку результат множення мантис може бути одержаний в ненормалізованій формі. Причому порушення нормалізації можливо тільки зліва. Воно усувається шляхом зсуву коду мантиси на один розряд вліво і, відповідно, корегується порядок добутку шляхом віднімання одиниці від суми порядків. Округлення мантиси здійснюється додаванням одиниці до (п+1)-го розряду.

Під час виконання операції множення чисел з плаваючою комою можуть мати місце такі особливі випадки.

Якщо порядок результату є найбільшим від'ємним числом, то необхідно формувати машинний нуль.

Коли виникає переповнення додатного порядку і воно не усувається після нормалізації і корегування порядку, то необхідно формувати ознаку переповнення порядку.

Ці особливі випадки можна передбачити в алгоритмі операції множення введенням корегування добутку на підставі ознак результату.

3.5. Методи ділення чисел в цом

3.5.1. Основні уявлення про ділення чисел

Одним з найдавніших вважається давньоєгипетський спосіб ділення, що заснований на використанні операцій подвоєння і порівняння. Розглянемо його реалізацію на прикладі.

Приклад 3.15. Поділити число А = 1075 на число В = 25.

Розв'язання. Складаються два стовпчики. В лівому стовпчику розташовуються степені двійки, а у правому стовпчику перше число дорівнює В, а кожне наступне є подвоєним попереднім числом. Кожне число, що утворюється у правому стовпчику, порівнюють з діленим 1075. Як тільки буде утворено число 1600, яке більше за ділене 1075, то попереднє число лівого стовпчику, а саме, 32 помічається зірочкою. При цьому визначається різниця 1075 - 800 = 275, яка є остачею. Далі вона порівнюється з числами правого стовпчику у напряму, який вказує стрілка, до утворення чергової остачі. Результат ділення утворюється додаванням чисел лівого стовпчику, що помічені зірочками, тобто 32 + 8 + 2 + 1 = 43.

Ділення двійкових чисел багато в чому аналогічне діленню десяткових чисел. Процес ділення полягає в тому, що послідовно розряд за розрядом відшукуються цифри частки шляхом підбора з наступним множенням цієї цифри на дільник і відніманням цього добутку від діленого.

Існує багато різних методів виконання операції ділення, серед яких найвідоміші такі.

Насамперед це - "шкільний" алгоритм ділення, який полягає в тому, що дільник на кожному кроці віднімається стільки разів від діленого (починаючи зі старших розрядів), скільки це можливо для одержання найменшої додатної остачі. Тоді в черговий розряд частки записується цифра, яка дорівнює кількості дільників, що містяться в діленому на даному кроці. Таким чином, весь процес ділення зводиться до операцій віднімання і зсуву.

Інший метод виконання операції ділення полягає в множенні діленого на обернене значення дільника

.

Тут виникає нова операція - обчислення оберненого значення, що здійснюється за відомими наближеними формулами (наприклад, розкладанням у біноміальний ряд Ньютона і т.п.). У цьому випадку до складу команд машини повинна входити спеціальна операція для визначення оберненого числа.

До найбільш розповсюджених методів виконання операції ділення відноситься також метод, що полягає у використанні наближеної формули для визначення частки

від ділення двох чисел. Від методу ділення шляхом множення діленого на обернене значення дільника він відрізняється тільки тим, що частка визначається за деякою формулою шляхом виконання операцій додавання, віднімання і множення.

Два останні методи, як правило, реалізуються за підпрограмами, що потребують значних витрат часу, тому вони придатні для використання тільки в спеціалізованих машинах, в програмах яких операція ділення чисел зустрічається досить рідко. В більшості сучасних ЦОМ є спеціальний операційний блок, який здійснює ділення чисел. В універсальних обчислювальних машинах, як правило, реалізується різновид "шкільного" алгоритму ділення.