- •Раздел 1. Теория вероятностей
- •§1. Предмет теории вероятностей
- •§2. Случайные события. Операции над событиями
- •§3. Классическое определение вероятности
- •§4. Элементы комбинаторики
- •§5. Геометрическое определение вероятности
- •§6. Аксиоматическое определение вероятности
- •§7. Условная вероятность, теорема умножения
- •§8. Независимость событий
- •§9. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •§10. Схема Бернулли
- •§11. Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •§12. Дискретные случайные величины
- •§13. Примеры дискретных случайных величин
- •§14. Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения.
- •§15. Непрерывные случайные величины
- •§16. Примеры непрерывных распределений
- •§17. Многомерные случайные величины
- •§18. Функция распределения двумерной случайной величины
- •§19. Двумерная плотность
- •§20. Условные распределения
- •§21. Зависимые и независимые случайные величины
- •§22. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •§23. Дисперсия дискретной случайной величины
- •§24. Начальные и центральные теоретические моменты
- •§25. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§26. Свойства нормального распределения
- •§27. Функции случайных величин
- •§28. Условное математическое ожидание
- •§29. Ковариация. Коэффициент корреляции
- •§30. Закон больших чисел
- •§31. Характеристические функции
- •§32. Центральная предельная теорема
- •§33. Цепи Маркова
§10. Схема Бернулли
Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью р [0;1], «неудача» — с вероятностью q=1–р и исход каждого последующего испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний.
Теорема (Формула Бернулли). Обозначим через число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k=0, 1, …, n
P( =k)=C pk(1-p)n-k= C pkqn-k.
Доказательство. Событие А={ =k} означает, что в п испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию А элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk(1-p)n-k.
Другие благоприятствующие событию А элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на п местах. Есть ровно C способов расположить k успехов на п местах. Поэтому событие А состоит из C элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk(1-p)n-k.
Наиболее вероятное число успехов.
По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в п испытаниях» имеет вероятность qn, один успех — вероятность npqn и так далее. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум Р( =k)?
Сравним отношение Р( =k) и Р( =k-1) с единицей.
= = =
=1+ -1=1+ .
Видим, что
Р( =k)>Р( =k-1) при пр+р-k>0, то есть при k<пр+р
Р( =k)<Р( =k-1) при пр+р-k<0, то есть при k>пр+р;
Р( =k)=Р( =k-1) при пр+р-k=0, что возможно лишь если пр+р – целое число.
Рассмотрим два случая: пр+р Z и пр+р Z. В первом случае пусть k0=пр+р. Из полученных выше неравенств сразу следует, что
…<Р( =k0-2) Р( =k0-1) Р( =k0) Р( =k0+1)>…
Во втором случае пусть k0=[np+р] (целая часть числа пр+р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее пр+р. Из неравенств (а),(b) следует, что
…<Р( =k0-2) Р( =k0-1) Р( =k0) Р( =k0+1)>…
Действительно, неравенство Р( =k0)>Р( =k0+1) например, следует из (b), примененного для k=k0+1>пр+р.
Видим, что в зависимости от того, является число пр+р целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0=пр+р и k0-1=пр+р-1, либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0=[пр+р].
Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.
Теорема. В п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р наиболее вероятным числом успехов является
а) единственное число k0=[пр+р], если число пр+р не целое;
б) два числа k0=пр+р и k0 -1=пр+р-1, если число пр+р целое.
Пример. Если р=q=1/2, то при четном числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [п/2+1/2]=п/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей - получить 0,1,... ,п успехов, причем вероятности получить k и п-k успехов одинаковы.
При нечетном же числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов п/2+1/2 и n/2-1/2.
Независимые испытания с несколькими исходами.
Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:
Пример. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:
а) выпадет ровно 10 шестерок;
б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.
Решение:
а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна С ;
б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается - перед нами уже не схема Бернулли.
Выведем формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.
Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1,2,...,m. Пусть исход i в одном испытании случается с вероятностью pi, 1≤i≤ m, u =1.
Обозначим через P(n1,...,nm) вероятность того, что в n=n1+...+nm независимых испытаниях исход 1 появился n1 раз, исход 2 - n2 раз, ... , исход m - nm раз.
Теорема. Для любого п и любых целых n1≥0,...,пт≥0 таких, что n1+…+пт=п, верна формула:
P(n1,…,пт)= .
Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению п1 единиц, п2 двоек, ... , пт раз т-ок:
( ).
Это результат п экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата п независимых испытаний равна .
Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1,2,... ,т на п местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на п местах п1 единиц, n2 двоек, ... , пт чисел т, то есть
C C C …C =
Вернемся к решению примера (б) и выпишем ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна
Р(10,3,2)= · .