1.2. Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. Некоторые свойства мы докажем.
Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
,
Доказательство. Действительно,
,
и
.
Благодаря свойству 1 правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
Доказательство. Действительно,
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
.
Свойство 5 (инвариантность формулы
интегрирования). Если
,
то и
,
где
произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
Пример 1.1. Найти интеграл
.
Решение.
по
свойству 3=
по
свойству 5=
по
свойству 2=
.
1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использование свойств неопределенного интеграла.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функций) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы наизусть и уметь их узнавать.
Таблица основных интегралов
1.
;
11.
;
2.
;
12.
;
3.
;
13.
;
4.
;
14.
;
5
;
15.
;
6.
;
16.
;
7.
;
17.
;
8.
;
18.
.
9.
;
10.
;
2. Методы интегрирования
2.1. Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Пример 2.1. Найти следующие интегралы:
1)
.
2)
.
3)
;
4)
.
2.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном
выражении, положив
,
где
непрерывная функция
с непрерывной производной, имеющая
обратную функцию. Тогда
и на основании свойства инвариантности
формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой
.
(2.1)
Иногда целесообразно подбирать
подстановку в виде
,
тогда
,
где
.
Другими словами, формулу (2.1) можно применять справа налево.
Пример 2.2. Найти следующие интегралы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.