- •Практическая работа № 1 установление закона изменения случайных величин по результатам опыта
- •1. Основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики
- •II. Методика построения эмпирической кривой вычисление ее параметров и характеристик
- •1. Построение эмпирической кривой
- •2. Техника вычислений параметров эмпирического распределения
- •А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами. Объем выборки n 25
- •Б) Значения выборки заданы многозначными величинами. Объем выборки n 25
- •В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема. Объем выборки n 25
- •Методика определения поля допуска по эмпирическому распределению
- •4. Вычисление коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеивания
- •А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
- •Б) Поле допуска не задано
- •5. Критерии для непринятия резко выделяющихся наблюдений (ошибок измерения)
- •6. Функции плотности теоретических и эмпирических распределений
- •Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
- •2. Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
- •7. Сравнение эмпирических и теоретических функций распределения частот по критериям согласия
- •А) Критерий согласия Пирсона
- •Б) Критерий Колмогорова
- •Практическая работа № 2 установление вида зависимости между двумя переменными величинами
- •Функциональная зависимость
- •Корреляционная зависимость
- •Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема
- •Приложения
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Значение функции
6. Функции плотности теоретических и эмпирических распределений
Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
Рассмотрим случай, когда эксперимент проводится с целью установления вида функции плотности вероятности. Априори эта функция неизвестна и можно лишь предположительно судить о ее виде. Обработка результатов экспериментальных наблюдений производится в следующей последовательности:
а) по опытным данным строится эмпирическая кривая;
б) определяются параметры эмпирического распределения;
в) выдвигается одна или несколько гипотез о функции плотности исследуемой случайной величины, исходя из внешнего вида экспериментальной кривой, из значений ее параметров и технологических факторов, влияющих на ее вид;
г) эмпирическая кривая выравнивается по одной или последовательно по нескольким принятым теоретическим кривым;
д) проводится сравнение по одному из критериев согласия эмпирической и теоретической (выровненной эмпирической) кривых;
е) выбирается функция, дающая наилучшее согласование.
2. Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
Общее правило выравнивания состоит в следующем.
В каждое теоретическое распределение ( в его дифференциальную или интегральную функции) входит несколько величин, называемых параметрами ( математическое ожидание, дисперсия и др.). Так как эти величины априори неизвестны, то их необходимо определить по эмпирическому распределению, подставить в функцию плотности вместо теоретических значений этих величин, а затем рассчитать вероятности середин всех интервалов. Умножив эти вероятности на число опытов , получим теоретические значения частот случайной величины, которые дают выровненную кривую. Для примера рассмотрим выравнивание эмпирического распределения по нормальному закону (Гаусса).
Данный закон двухпараметрический. Поэтому предварительно необходимо вычислить среднее значение и среднее квадратическое отклонение .
Для вычисления воспользуемся данными, приведенными в табл. 5.
Определяем = -0,0284 и S= 0,0515.
Подставляем эти значения в функцию плотности (12), заменяя на и на .
Результаты выравнивания приведены в табл. 10. Сделаем некоторые пояснения к этой таблице.
В колонке 5 определяется ,
где - середина i-го интервала;
- среднее значение;
- среднее квадратичное отклонение.
По вычисленным значениям в приложении 1 находим значения , которые проставляются в колонке 6.
Таблица 10
Номер интервала (№) |
Середина интервала xi |
Эмпирические частоты mi |
|
|
|
Вероятность интервалов
|
Теоретические частоты mi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
-0,14 -0,12 -0,10 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 |
3 8 11 20 27 36 29 18 17 17 8 4 1 1 |
-0,1116 -0,0916 -0,0716 -0,0516 -0,0316 -0,0116 0,0084 0,0284 0,0484 0,0684 0,0884 0,1084 0.1284 0,1484 |
-2,17 -1,78 -1,39 -1,00 -0,61 -0,23 0,16 0,55 0,94 1,33 1,72 2,10 2,49 2,88 |
0,0379 0,0818 0,1736 0,2420 0.3332 0,3885 0,3939 9,3429 0,2565 0,1647 0,0909 0,0440 0,0180 0,0063 |
0,01472 0,03177 0,06742 0,09398 0,12940 0,15087 0,15297 0,13317 0,0996 0,07396 0,.03530 0,.01709 0,00699 0,0063 |
2,94 6,35 13,48 18,80 25,88 30,17 30,59 26,63 19,92 14,79 7,06 3,42 1,40 0.49 |
Сумма |
|
200 |
|
|
|
|
200 |
Вероятность каждого интервала (при расчетах полагаем, что все значения интервала сосредоточены в его середине) равна ,
где h=0,02-ширина интервала.
Например, .
Значения приведены в колонке 7.
Умножая на ,получаем значения частот кривой, выровненной по закону Гаусса (колонка 8).
Графики эмпирической и выровненной кривых строятся в координатах:
mi - № интервала; mi -- № интервала