ГБОУ СПО КО «Художественно-промышленный техникум»

Реферат на тему: «Параллельность прямых и плоскостей»

Выполнила студентка 1 курса

Группы С11-1 ГБОУ СПО КО «ХПТ»

Силуянова Алёна

Калининград 2012 г.

Содержание:

§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

1. 1.Параллельные прямые в пространстве.

2. 2.Параллельность трех прямых.

3. 3.Параллельность прямой и плоскости.

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

1. 1.Скрещивающиеся прямые.

2. 2.Углы с сонаправленными сторонами.

3. 3.Угол между прямыми.

§ 3. Параллельность плоскостей.

1. 1.Параллельные плоскости.

2. 2. Свойства параллельных плоскостей.

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед.

1. 1.Тетраэдр.

2. 2. Параллелепипед.

§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

1.Параллельные прямые в пространстве.

Теорема

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Доказательство

Пусть a – данная прямая и A – точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую a и точку A плоскость α. Проведем через точку A в плоскости α прямую a1, параллельную a. Докажем, что прямая a1, параллельная a, единственна.

Допустим, что существует другая прямая a2, проходящая через точку A и параллельная прямой a. Через прямые a и a2 можно провести плоскость α2. Плоскость α2 проходит через прямую a и точку A; следовательно, по теореме о точке и прямой в пространстве она совпадает с α. Теперь по аксиоме параллельных прямые a1 и a2 совпадают. Теорема доказана.

2. Параллельность трех прямых.

Теорема

Транзитивность параллельности.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими словами, если a || c и b || c, то a || b.

Пусть a || c и b || c . Заметим, что прямые a и b не могут пересекаться, то есть если бы у них была одна точка, то через эту точку можно было бы провести единственную прямую, параллельную прямой c, то есть они бы совпадали. Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Пусть Aэ a. Проведем плоскость γ через прямую b и точку A и докажем, что a с γ. Если a пересекает плоскость γ, то по лемме ( Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость) c пересекает плоскость γ, и b пересекает плоскость γ. Мы пришли к противоречию, так как bс γ. Итак, a с γ, b с γ и a и b не имеют общих точек, следовательно a || b.

3. Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

1.Скрещивающиеся прямые.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости.

Теорема

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости а, и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости B, то плоскость (3 будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости а. Теорема доказана.

Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

а) прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку (рис. 21, а);

б) прямые параллельны, т. е. лежат в одной Рис. 21 плоскости и не пересекаются (рис. 21, в) прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости (рис. 21, в).

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство

Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и такая плоскость только одна.

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости а и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD параллельна плоскости а. Ясно, что плоскость а — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге.