- •Лекция 1 змерительные приборы и системы (ипс)
- •Основы теории измерительно-информационных систем (иис)
- •Основные определения. Этапы обращения информации Поколения иис.
- •Основные определения
- •Этапы обращения информации при использовании ее для выработки управляющих воздействий на объект.
- •1.1.3 Поколения иис
- •Интерфейс
- •Система шин
- •Лекция 2
- •1.2 Математические модели сигналов Понятие сигнала и его модели
- •Ортогональное представление сигналов.
Ортогональное представление сигналов.
Вычисление спектральных составляющих сигнала значительно упрощаются при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.
С истему функций 0(t), 1(t), . . ., k(t), . . ., j(t), . . ., n(t) называют ортогональной на отрезке [ta, tb] если для всех k = o,n; j = o,n, за исключением случаев k = j, удовлетворяется условие
(3)
э та система функций будет ортонормированной (ортонормальной), если для всех j = o,n справедливо соотношение
(4)
Если (4) не выполняется и
то систему можно нормировать, умножая функции j(t) на .
Определим коэффициенты Сk при представлении сигнала U(t) совокупностью ортонормированных функций в виде
(5)
предполагая, что интервал [t1, t2] лежит внутри отрезка ортонормальности [ta, tb].
Правую и левую части (5) умножаем на j(t) и интегрируем на интервале [t1, t2]:
(6)
В силу справедливости (3) все интегралы в правой части (6) при k j будут равны 0. При k = j в соответствии с (4) интеграл равен 1.
Следовательно
(7)
В теоретических исследованиях обычно используются полные системы ортогональных функций, обеспечивающих сколь угодно малую разность непрерывной функции U(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность оценивают по критерию
(8)
При этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда к функции U(t).
Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:
Она ортонормальна на отрезке [-,]. Т.к. соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношения (5) часто именуют обобщенным рядом Фурье, а значения Ck – обобщенными коэффициентами Фурье.
Справка. В теории сигналов доказывается, что любой периодический сигнал U(t), имеющий на периоде конечное число точек разрыва первого ряда, может быть представлена в виде
(*)
Иными словами, периодический сигнал U(t) сложной формы может быть разложен на элементарные гармонические колебания с амплитудой Ак, частотой к1 и начальной фазой к. Здесь 1 – круговая частота первой гармоники (Т1=2/1).
Если знать, что
и ввести обозначение
то выражение (*) примет вид
(**)
Здесь А=U0/2 представляет нулевую гармонику. Выражение (**) представляет разложение периодического сигнала U(t) в ряд Фурье. При этом коэффициенты ряда Фурье могут быть определены по формулам
Легко заметить, что амплитуда Ак и начальная фаза к в разложении (*) равны
и
Отметим важное свойство системы функций
cos1t, sin1t, cos21t, sin21t, . . . ,cosk1t, sink1t, используемых в разложении (**). Это свойство состоит в том, что интеграл взятый от произведения любых двух функций на периоде Т=2/1, равен нулю, т.е.
,
где Р – действительное число; l – натуральное число (l к). Указанное свойство называется ортогональностью.