- •Лекция 19
- •Опустить
- •3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
- •Лекция 20
- •3. 21. Передаточные функции цифровой системы управления с обратной связью.
- •Лекция 21
- •3. 22. Уравнения цифровой системы с обратной связью.
- •3. 23. Анализ цифровых систем с обратной связью (замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.
- •Опустить
- •3. 24. Анализ точности цифровых систем управления в установившемся режиме.
- •3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении z- преобразования.
- •3. 26. Аналитический метод синтеза (метод размещения полюсов и нулей системы), основанный на моделях типа "вход-выход"
- •Исходные данные
- •Постановка задачи синтеза.
- •Решение задачи.
- •Лекция 22
- •3.27. Размещение полюсов замкнутой цифровой системы с помощью обратной связи по состоянию
- •3.28. Цифровой (дискретный) лкр-регулятор
- •3.29. Цифровой наблюдатель состояния
- •3.31. Цифровой лкг-регулятор (Цифровое линейно-квадратичное гауссовское управление)
- •3.32. Восстановление свойств замкнутой системы.
- •Лекция 23 Читать
- •4. Нелинейные системы управления.
- •4. 1. Модели нелинейных систем управления
- •4. 2. Пространство состояний.
- •4. 3. Структурная расчетная схема нелинейной системы.
- •Лекция 23
- •4. 4. Особенности процессов в нелинейных системах.
- •4. 5. Устойчивость нелинейных систем.
- •4.6. Понятие об устойчивости состояния равновесия.
- •4.7. Исследование устойчивости по линейному приближению.
- •Лекция 24
- •4.8. Второй метод Ляпунова.
- •Теоремы второго метода Ляпунова
- •Пассивность
- •4.10. Частотный способ анализа устойчивости.
- •4. 6. Анализ процессов в нелинейных системах.
- •Метод фазовой плоскости.
- •Метод гармонического баланса.
- •1. Основные сведения.
- •Лекция 25
- •2. Метод гармонической линеаризации.
- •3. Основное уравнение метода гармонического баланса.
- •4. Способ Гольдфарба.
- •5. Коррекция автоколебаний.
- •6 . Условия применимости метода гармонического баланса.
- •7. Насыщение исполнительного устройства
- •Выбор постоянной времени слежения
- •8. Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью
- •2.1. Линеаризация вход-состояние
- •2.2. Линеаризация вход-выход
- •2.3. Внутренняя динамика
- •2.4. Нуль-динамика
- •9. Синтез нелинейной следящей системы с помощью скользящего управления
Лекция 19
Рассмотрим два свойства амплитудно-фазовой характеристики цифровой системы:
I. Амплитудно-фазовая характеристика цифровой системы представляет собой периодическую функцию относительной частоты с периодом , т.е.
, (55)
Действительно,
,
так как
,
В связи с периодичностью для полного суждения о ее поведении достаточно знать, какие значения она принимает при изменении в любом диапазоне шириной . Обычно используют диапазон низких частот : от до . Периодичность порождает так называемый стробоскопический эффект, который заключается в том, что цифровая система имеет одинаковую реакцию как на частоту , так и на частоту . Это обстоятельство еще раз свидетельствует о поглощении частот, вызванной дискретизацией.
Годограф , построенный на комплексной плоскости при изменении от - до , называется диаграммой Найквиста. Кстати, относительная частота измеряется как [рад/выборку], где под выборкой понимается число периодов дискретизации Т, укладывающееся в период непрерывного сигнала .
2. При изменении знака у частоты в аргументе амплитудно-фазовой характеристики получаем комплексно-сопряженное выражение, т. е.
, (56)
где - символ комплексно-сопряженного выражения.
Действительно, представляя в алгебраической форме
,
где
, ,
и учитывая, что
,
находим
,
откуда вытекает равенство (56). Таким образом, если известно выражение для положительных частот , то нетрудно найти значения этой характеристики и для отрицательных частот . Это свойство позволяет в два раза уменьшить диапазон изменения частоты при исследовании поведения , т.е. вместо диапазона дает возможность ограничиться диапазоном .
Амплитудно-фазовой характеристикой цифровой системы называется не только само выражение , но и годограф построенный, на комплексной плоскости при изменении от 0 до .
На рис. 19 представлены диаграммы Найквиста цифровой и соответствующей непрерывной систем, причем диаграмма цифровой системы построена при изменении относительной частоты от до .
Опустить
Если u(k) = sin( k), то имеем
Читать
Для исследования цифровых систем используются также логарифмические частотные характеристики:
амплитудная
,
фазовая
,
построенные в логарифмическом масштабе частот .
На рис. 20 изображены вкачестве примера логарифмические частотные характеристики непрерывной системы с передаточной функцией 1/(р2+1.4p+1) (пунктир) и соответствующей цифровой системы (сплошная).
3. 20. Структурная схема цифровой системы с обратной связью.
Достаточно полной математической моделью линейной цифровой системы управления с обратной связью (замкнутой цифровой системы) является разностное, уравнение, связывающее между собой управляемую последовательность с внешними воздействиями; для получения такого уравнения, как и в теории непрерывных систем, удобно использовать метод, связанный с построением и последующим преобразованием структурных схем цифровых систем.
Рассмотрим стандартную функциональную схему цифровой системы управления, изображенную на рис. 21.
Мультиплексор
Два измеряемых непрерывных сигнала - задающее воздействие и наблюдаемая величина - сканируются, т.е. подключаются поочередно к АЦП, с помощью мультиплексора. Применение мультиплексора позволяет избежать необходимости включения в схему двух АЦП для преобразования каждого из сигналов и в отдельности, что с экономической точки зрения в ряде случаев целесообразно. Рассматривая АЦП как ключ (дискретизатор), можно считать, что его функция заключается в том, чтобы получить задающую
,
и наблюдаемую
,
последовательности. Разумеется, АЦП преобразует сигналы и в цифровую форму не в одно и то же время . Однако, принимая во внимание, что время преобразования занимает ничтожную часть периода дискретизации T, задержками в выдаче задающей и наблюдаемой последовательностей можно пренебречь и считать, что они появляются на выходе АЦП в моменты замыкания ключа.
Программа работы ЦВМ определяется выбранным законом управления. Предположим, что в рассматриваемом случае используется линейный закон управления с прямой и обратной связью. При этом ЦВМ осуществляет следующие операции:
Преобразует задающую последовательность в последовательность прямой связи в соответствии с заданным алгоритмом. Этому алгоритму соответствует линейное разностное уравнение, связывающее последовательности и . Следовательно, можно считать, что рассматриваемая операция осуществляется дискретным фильтром прямой связи , описываемым упомянутым разностным уравнением.
преобразует наблюдаемую последовательность в последовательность обратной связи в соответствии с другим заданным алгоритмом, который в общем случае отличается от алгоритма преобразования в . При этом последовательности и оказываются связанными линейным разностным уравнением, что можно трактовать как преобразование последовательности в последовательность с помощью дискретного фильтра обратной связи ;
вычисляет управляющую последовательность
, (57)
как разность последовательностей прямой и обратной связи.
ЦАП, преобразующий управляющую последовательность и[i] в управляемый сигнал, можно рассматривать, как фиксатор нулевого порядка Ф. Пусть объект управления ОУ характеризуется передаточной функцией , связывающей преобразования Лапласа выходного сигнала объекта и управляющего воздействия . Управляемую величину
, (58)
можно рассматривать как сумму сигнала и возмущающего воздействия , приведенного к выходу объекта управления.
Будем считать, что в процессе измерения управляемая величина искажается шумом измерения так, что наблюдаемый сигнал
. (59)
Для получения математической модели цифровой системы управления осуществим дискретизацию сигналов и . При этом, используя (58) и (59), получаем уравнения связи
, (60)
где
- управляемая последовательность,
- последовательность выхода ОУ,
- возмущающая последовательность;
, (61)
где - наблюдаемая последовательность,
- последовательность шума измерения.
Заменяя ЦАП фиксатором и вводя фиктивные ключи (дискретизаторы), преобразующие соответственно в , переходим от схемы (рис.21) к блок-схеме, показанной на рис. 22.
Как видно из рис. 22, модель цифровой системы управления, ориентированная на дискретный фильтр, состоит из соединения трех дискретных фильтров: , и дискретного фильтра, эквивалентного последовательному соединению фиксатора, объекта и ключа. Так как по условию известны уравнения фильтров и , нетрудно найти соответствующие операторные передаточные функции этих фильтров и . Операторная передаточная функция объекта, управляемого от ЦВМ, может быть найдена по передаточной функции :
. (30)
Отбрасывая ключи и считая внешними воздействиями цифровой системы управления последовательности , а ее выходом последовательность , приходим к структурной схеме (рис. 23),
которая отображает разностные уравнения дискретных фильтров
,
, (62)
,
и уравнения связи (57), (60) и (61) во временной области. Используя Z-преобразование, записываем уравнения (57), (59) - (62) в изображениях. При этом получаем:
I) передаточную функцию объекта, управляемого от ЦВМ,
. (63)
2) передаточную функцию прямой связи
. (64)
3) передаточную функцию обратной связи
. (65)
а также уравнения связи
(66)
По уравнениям (62) - (65) строим структурную схему цифровой системы с обратной связью (рис. 24), отображающую уравнения дискретных фильтров и уравнения связи в комплексной области Z.
В настоящее время структуру системы, представленной на рис. 24, называют структурой с двумя степенями свободы, имея в виду два дискретных фильтра, входящих в управляющее устройство.
Как видим, рассмотрение всех сигналов как числовых последовательностей и введение соответствующих передаточных функций для алгоритмов ЦВМ и объекта управления с ЦАП и АЦП позволили получить структурную схему, аналогичную обычной структурной схеме непрерывной системы. Так же, как и для непрерывных систем, каждый дискретный фильтр подобно непрерывному звену изображается прямоугольником и описывается алгебраическим уравнением. Разница заключается лишь в том, что непрерывные звенья описываются уравнениями в преобразованиях Лапласа, а фильтры - уравнениями в Z – изображениях.
Следовательно, все правила преобразования структурных схем непрерывных систем применимы для упрощения и свертывания структурных схем цифровых систем.
Так, например, если используется закон управления по ошибке, то алгоритмы преобразования сигналов v[i] и y[i] совпадают. При этом
.
Тогда, перенося элемент суммирования 1 (рис. 24) на вход фильтра с передаточной функцией и используя соответствующее правило преобразования структурных схем непрерывных систем, приходим к структурной схеме цифровой системы управления с единичной обратной связью (рис. 25).
На этой схеме:
есть Z-преобразование последовательности ошибки управления
,
а
,
есть Z-преобразование последовательности шума измерения ошибки управления . Дело в том, что в цифровых системах с единичной обратной связью, как правило, измеряют не v(t) и y(t), а их разность - ошибку управления
,
и этот процесс сопровождается шумом измерения , так что наблюдается сигнал ошибки