16 Линейный закон фильтрации Дарси. Границы применимости закона Дарси.

Под фильтрацией понимают движение жидкости или газа через пористую среду. Под пористой средой в широком смысле слова следует понимать материальное тело, содержащее пустоты в виде мельчайших пор, трещин и т.д. В 1856г. франц. инженер Анри Дарси экспериментально исследовал фильтрацию воды через вертикальные фильтры (трубы, заполненные песком), создавая 1-ю современную систему водоснабжения в Европе. При установившейся фильтрации Q=сonst. Закон Дарси - это линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рис.). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид

,

где z- высота положения; р/ - пьезометрическая высота;  - объёмный вес; v - скорость движения жидкости. Схема наклонного пласта:

Дарси экспериментально установил: расход жидкости через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади поперечного сечения трубки (модели пласта) и обратно пропорционален длине трубки (пласта), т.е.

- градиент напора, гидравлический уклон;

∆ H =H₂ – H_1;Н₁ и H₂- полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды (модели пласта).

Q= F*V

V= К_ф* i,

где К_ф – коэф. фильтрации,характеризует расход потока через ед. площади, ч/з кот. Фильтруется жидкость, (имеет размерность скорости, м/с), зависящий как от структуры пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости; т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде;

H₁ и H₂ - полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды(модели пласта)., характеризует расход потока через единицу площади сечения, перпендикулярного потоку под действием единичного градиента напора.

Линейный закон фильтрации Дарси:

V= К_ф* i

Если выразить напор через давление ρgh=P

ρg∆ H=∆(Р+ ρgz) = Р*

z – уровень (∆ H);

∆Р* - изменение приведенного давления

Приведенное давление: Р+ ρgz = Р*

В дифференциальной для установившегося движения

Знак «-» показывает, что вектор скорости направлен в сторону убывания приведенного давления P*. При изучении фильтрации жидкости давление надо приводить к одному уровню. Это особенно необходимо, когда пласты имеют большую толщину.

Границы применимости з.Дарси.

Закон Дарси справедлив для следующих условий:

1) пористая среда мелкозернистая;

2) скорости фильтрации и градиент давления – величины малые;

3) скорость фильтрации и градиент Р изменяются очень медленно во времени и практически постоянно, т.е. при стационарной или установившейся фильтрации.

4) когда жидкость ньютоновская

Закон Дарси для газа не действителен.

К_ф используется обычно в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При исследовании фильтрации нефти, газа и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и жидкости. В этом случае формула Дарси записывается обычно в виде

или

- коэффициент проницаемости, не зависит от свойств жидкости и является динамической характеристикой только пористой среды ( при условии, что между ними нет физико-хим. взаимодействия ), к-т проницаемости показывает суммарную площадь сечения поровых каналов, по которым идет процесс фильтрации на единичной площади фильтрации.

1 Дарси – проницаемость образца такой пористой среды, которая имеет длину 1см, площадь поперечного сечения 1 см², через которую фильтруется жидкость.

Закон Дарси может быть выражен в потенциальной форме: для этого введем величину

потенциал скорости. Тогда закон Дарси примет вид

– линейный закон установившейся фильтрации не всегда справедлив.

Установлено, что существуют различные причины отклонения от закона Дарси. Их можно объединить в 2 основные группы:

1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости з.Дарси)

2) отклонения при достаточно малых скоростях фильтрации, вызванные проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, ее взаимодействием с тв. скелетом пористой среды (нижняя граница применимости з.Дарси)

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается.

где

V – скорость фильтрации;

d – некоторый характерный линейеый размер пористой среды;

ν – кинематическая вязкость.

Многочисленные эксперимент. исслед-я были направлены на получение числа Re, по величине которого можно было бы судить о выполнимости линейного з.Дарси.

Re ‹ Re_Крит – ламинарный режим течения;

Re › Re_{Крит –} турбулентный режим течения.

Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

1) Павловским Н.Н. впервые была дана количественная оценка верхней границы применимости з.Дарси (опираясь на результаты Слихтера, получены для модели фиктивного грунта)

(*)

d_эф – эффективный диаметр частиц фиктивного грунта;

V – скорость фильтрации.

Павловский установил, что Re_Крит находится в пределах 7,5 ‹ Re_Крит ‹ 9. Если получаем по формуле Павловского числа Re ‹ левой границы, то з.Дарси выполняется (Re ‹ 7,5); если › правой границы, то з.Дарси нарушается. Недостаток этой формулы: трудность определения d_эф. Была предпринята попытка выразить Re так, чтобы не было трудноопределяемых величин, таких как d_эф.

2) формула Щелкачева

.

- вместо характерного линейного размера пористой среды.

Формула Щелкачева лучше формулы Павловского, т.к. здесь нет d_эф. По Щелкачеву значение Re находится в пределах 1 ‹ Re_Крит ‹ 12;

Существуют формулы и других факторов, полученные для различных пористых сред. Нахождение Re_Крит в некоторых интервалах объясняется структурой и составом пористых сред.

Скорость фильтрации v_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при v>v_кр соизмеримы с силами трения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления t_н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности.