2. Кінематика найпростіших рухів твердого тіла

В механіці твердого тіла розрізняють наступні види руху: поступальний, обертальний навколо нерухомої осі та обертальний навколо нерухомої точки (сферичний), плоскопаралельний (плоский) та вільний. До найпростіших рухів твердого тіла відносяться поступальний і обертальний, бо всі інші рухи можна подати певним способом як сукупність цих двох.

П оступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма, проведена в тілі, що рухається, залишається паралельною своєму початковому положенню. У випадку поступального руху тіла точки можуть мати траєкторії різної форми. Так, наприклад, корпус паровоза на прямолінійній ділянці рухається поступально, і траєкторіями його точок є прямі лінії. Траєкторії же точок спарника коліс АВ (рис. 2.1) по відношенню до корпуса паровоза є колами, а по відношенню до землі – циклоїди. При цьому спарник при коченні коліс рухається поступально (рис. 2.1), оскільки будь-яка пряма проведена в спарнику залишається в процесі його руху напрямленою паралельно сама собі. Отже при поступальному русі тіла траєкторії його точок можуть бути як прямолінійні, так і криволінійні, але всі точки тіла описують однакові за формою (конгруентні) траєкторії.

Н ехай тіло здійснює поступальний рух відносно системи відліку (рис. 2.2). Щоб встановити закон поступального руху твердого тіла, візьмемо на ньому довільні точки А і В положення яких визначаються радіус-векторами та відповідно. Зв’яжемо з точкою А систему відліку (рис. 2.2). Проведемо вектор з точки в точку . Під час руху тіла для кожного моменту часу буде справедлива така векторна рівність

. (2.1)

Визначимо швидкості та прискорення точок і . За означенням поступального руху твердого тіла, вектор має постійну величину та напрям, отже , тому

. (2.2)

Тоді після диференціювання рівності (2.1) отримуєио

,

отже

(2.3)

– вектори швидкості точок і рівні між собою.

Прискорення точок і одержимо після диференціювання за часом формули (2.3), що дає: , тобто,

(2.4)

– вектори прискорення точок і теж рівні між собою.

О скільки точки і вибрані довільно, то – в кожний момент часу всі точки твердого тіла, яке рухається поступально, мають рівні вектори швидкості і рівні вектори прискорення. Отже поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом будь-якої однієї його точки, наприклад , яку називають полюсом.

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому всі його точки рухаються по концентричним колам, центри яких лежать на нерухомій прямій. Ця пряма називається віссю обертання. У випадку обертального руху навколо нерухомої осі всі точки, крім тих, що лежать на осі обертання, здійснюють рух в площинах, перпендикулярних до осі обертання.

Для визначення положення тіла направимо вісь вздовж осі обертання (вгору) – рис. 2.3. Зв’яжемо з довільною точкою М твердого тіла та віссю обертання площину і зафіксуємо її положення в нерухомій системі координат. Через деякий час тверде тіло повернеться на кут і площина займе положення (рис. 2.3). Тоді положення тіла буде однозначно заданим, коли відомий закон зміни кута

(2.5)

між зафіксованою площиною та рухомою площиною . Цей кут називається кутом повороту тіла.

Головними кінематичними характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість (яка характеризує швидкість зміни кута повороту з плином часу) та кутове прискорення (яке характеризує зміну кутової швидкості з плином часу).

Вектором кутової швидкості твердого тіла, яке здійснює обертання навколо фіксованої осі, називається вектор, модуль якого визначається похідною за часом від кута повороту

. (2.6)

Вектор кутової швидкості лежить на осі обертання та направлений вздовж осі обертання в ту сторону (рис. 2.3), звідки обертання відбувається проти руху стрілки годинника. Таким чином

, (2.7)

де - орт осі , з якою співпадає вісь обертання (рис. 2.3). З формули (2.7) видно, що напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо , та напрям вектора протилежний напряму вектора , якщо .

Оскільки одиницею вимірювання кута є радіан, то одиницею вимірювання кутової швидкості є радіан за секунду.

Вектором кутового прискорення називається вектор, який дорівнює похідній за часом від вектора кутової швидкості

. (2.8)

Цей вектор також лежить на осі обертання. Друга похідна за часом від кута повороту дає визначає алгебраїчне значення кутового прискорення

. (2.9)

Одиницею вимірювання кутового прискорення є радіан за секунду в квадраті.

Якщо вісь обертання зафіксована, то напрям співпадає з напрямом коли модуль кутової швидкості зростає (обертання тіла прискорене). Напрям буде протилежним напряму , коли модуль кутової швидкості зменшується (обертання тіла буде сповільненим). З цих обставин випливає наступне просте правило: якщо алгебраїчний добуток > 0, то абсолютна швидкість обертання збільшується – обертання твердого тіла прискорене, якщо < 0 –сповільнене.

Ще раз підкреслимо, що вектори кутової швидкості та кутового прискорення завжди розташовані на осі обертання.

Зв’язок кутових та лінійних кінематичних величин

Лінійна швидкість довільної точки твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (рис. 2.4), визначається векторним добутком вектора кутової швидкості на радіус-вектор цієї точки відносно довільної точки , що лежить на осі обертання, і не залежить від вибору цієї точки

(2.10)

Модуль лінійної швидкості дорівнює

, (2.11)

де = – віддаль від точки до осі обертання (дивись рис. 2.4).

Тангенціальне та нормальне прискорення точки твердого тіла визначаються формулами:

, (2.12)

. (2.13)

Модулі тангенціального, нормального та повного прискорень залежать від віддалі точки до осі обертання і можуть бути обчислені за формулами:

, (2.14)

, (2.15)

. (2.16)