1.2. Невизначений інтеграл

1.2.1. Означення. Знаходження первісних називається невизначеним інтегруванням, а вираз, який поєднує в собі всю множину первісних від даної функції , називається невизначеним інтегралом від і позначається .

1.2.2. Пригадаємо властивості невизначених інтегралів, які були вивчені в школі (це ті три правила обчислення первісних, які приведені на початку лекції). Крім цих властивостей ще розглянемо чому дорівнює диференціал від невизначеного інтегралу

_(1.1)

Таким чином маємо: . Розділивши цю рівність на dx матимемо:

, або в більш звичному виді (1.2)

Запишемо ще одну очевидну рівність , (1.3)

або, розписавши диференціал . (1.4)

Вивченими в школі є такі властивості:

а) (1.5)

Доводиться ця властивість, як і наступні, за допомогою (1.2).

б) (1.6)

в)Якщо то (1.7)

1.3. Таблиця невизначених інтегралів

1.3.1. Таблиця основних формул інтегрування.

2.

.

1.3.2. Теорема про інваріантність формул інтегрування. Якщо - яка-небудь відома формула інтегрування і - довільна функція з неперервною похідною, то .

Доведення. Нехай є справедливою формула , тоді за означенням маємо . Нехай тепер . Візьмемо функцію . В силу теореми про інваріантність виду першого диференціалу будемо мати . Інтегруючи останню рівність маємо: .

Ця теорема дозволяє, використовуючи тотожні перетворення підінтегрального виразу звести його до виду відомої формули, де змінною виступає якась функція, яку ми можемо на час інтегрування позначити через нову змінну. Застосувавши відому формулу і знайшовши інтеграл ми повернемось до початкової змінної. В цьому полягає один із основних методів інтегрування – метод підстановок, який ми розглянемо після прикладів.

1.3.3. Знайти невизначені інтеграли: 1. . Стратегія розв’язування повинна бути такою: використовуючи властивості інтеграла та тотожні перетворення математичних виразів, інтеграл треба звести до відомої формули інтегрування, після цього, опираючись на теорему про інваріантність формул, знайти інтеграл.

Так зводиться до формули при , а тому будемо мати

Щоб знайти другий інтеграл , використовуючи ту ж саму формулу, треба під інтегралом замість dt мати d(3t+4). Так як , то для того, щоб замість dt записати d(3t+4) нам необхідно спочатку замість dt записати 3dt. Це ми можемо зробити одночасно помноживши і поділивши вираз під інтегралом на 3. Одержимо , а далі 1/3 винесемо з під інтегралу, а 3dt

замінимо на . Остаточно одержимо: .

Для того, щоб розв’язати третій приклад треба, знову ж таки, “побачити” чи правильніше буде відчути ту формулу, за якою можна проінтегрувати вираз . Перш за все якщо ми хочемо використати теорему про інваріантність формул інтегрування (а при інтегруванні це в нас повинне бути постійним бажанням), то нам би хотілося замість dz в кінці інтегралу мати . Обчислимо цей диференціал , та подивимось – чого нам не вистачає, щоб від dz перейти до . Виявляється, що у нас є, немає множника 6. Тож прийдеться вираз під інтегралом помножити і розділити на 6, одержимо . Але ж , а тому остаточно інтеграл зводиться до тієї ж формули , де n=1/2, . .

Наступні приклади подані у вигляді таблиці. В кожному рядку першою стоїть формула а наступні два приклади розв’язуються по ній, треба лише їх до неї підігнати. Ми Вам настійно радимо: перш ніж ознайомлюватись з наступними методами інтегрування попрацюйте над таблицею, а після неї розв’яжіть із збірника 25-30 прикладів на безпосереднє, тобто за таблицею, інтегрування.

2.

.