- •Введение
- •Моделирование и его виды
- •.Рациональное ведение хозяйства и экономики
- •2.Теория потребления
- •2.1. Пространство товаров
- •2.2. Отношение предпочтения
- •2.3.Задача оптимального потребления
- •2.4.Сравнительная статика потребления
- •3. Теория фирмы.
- •3.1.Производственная функция
- •3.2.Теория фирмы
- •3.3. Несовершенная конкуренция. Монополия и монопсония
- •3.4. Конкуренция среди немногих. Олигополия и олигопсония.
- •Межотраслевой баланс
.Рациональное ведение хозяйства и экономики
Основной задачей экономики является рациональное ведение хозяйства, рациональная деятельность (economizing), т.е. распределение ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Вследствие ограничения ресурсов приходится выбирать тот или иной вариант их использования. К задачам, связанным с рациональным ведением хозяйства относят, например, распределение дохода на цели потребления и сбережения, распределения общей суммы расходов на потребление между различными видами товаров и услуг.
Экономика в целом представляет собой совокупность определенных институтов, каждый из которых решает стоящую перед ним задачу рационального ведения хозяйства. В число таких институтов входят:
Потребители (домашние хозяйства): отдельные лица или группы лиц с общим доходом, расходуемым на потребление.
Фирмы: предприятия (единоличная собственность, аукционная общества), производящие товары и услуги.
Профессиональные союзы: группы людей, работающих по найму, организованные для того, чтобы заключать с предпринимателями коллективные договоры или выполнение определенных задач.
Правительственные организации: политические учреждения часто обладающие важными экономическими функциями.
Экономику можно рассматривать как науку о применении методов рациональной деятельности хозяйственных институтов. Таким образом, экономическая наука рассматривает распределение ограниченных ресурсов в домашнем хозяйстве, фирме и в ряде других институтов.
Следовательно, для всех перечисленных институтов может быть указана функция цели, средства (инструмент) управления, ограничения на ресурсы и нормативные правила, регулирующие, например, распределение дохода между товарами и услугами.
2.Теория потребления
2.1. Пространство товаров
Поведение потребителя, рассматриваемое с точки зрения рационального ведения хозяйства, математически выражается в выборе некоторой точки из пространства товаров. Под товаром будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, существует конечное число наличных товаров n, количества каждого из них, потребленные потребителем, характеризуются набором товаров x
, (2.1)
где , j= - количество j-го блага приобретенного некоторым потребителем.
С целью упрощения будем считать, что может быть куплено любое неотрицательное количество блага (товара). Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров , т. е. , = .
Т.о, С- неотрицательный ортант в -мерном пространстве (замкнутое и выпуклое множество).
2.2. Отношение предпочтения
Выбор потребителем некоторого набора товаров отчасти зависит от его вкусов. Они характеризуются слабым отношением предпочтения, либо слабым предпочтением: «предпочтительнее чем» или «равноценен», которое записывается далее как « ».
Следовательно, запись
, (2.2)
где x и y – наборы товаров (точки пространства С), означает, что рассматриваемый потребитель либо предпочитает набор x набору y, либо не делает между ними различий: x по крайней мере так же хорош как и у.
Определим теперь понятие безразличия. Наборы товаров x и y безразличны для потребителя (x~y) тогда и только тогда, когда каждый предпочтительнее или безразличен по отношению к другому, т. е.
x~y, если и только если x y и y x (2.3)
Потребитель предпочитает набор х набору у (x y), если и только если х предпочтительнее или безразличен у, а у не предпочтительнее или не безразличен х:
х у, если и только если x y, а отношение y x неверно (2.4)
Отношение в пространстве товаров называется совершенным, если для любых наборов товаров х и у из С справедливо:
либо x y, либо y x, либо (x y и y x одновременно) (2.5)
Соотношение (2.5) означает, что в С нет «пробелов», в которых предпочтения не существует.
Отношение называется транзитивным (полуупорядоченным), если, для любых трех наборов х, у и z из С выполняется условие:
если x y, у z, то х z (2.6)
Отношение называется рефлексивным, если х x.
Отношение называется симметричным, если x y влечёт y x.
Рассмотрим две основные аксиомы о слабом отношении предпочтения.
Аксиома 1. Слабое отношение предпочтения является совершенной полуупорядоченностью пространства товаров С.
Аксиома утверждает, что для произвольных х и у в С справедливы формулы (2.5), (2.6). Из аксиомы 1 можно получить следующие свойства отношений эквивалентности. Это отношение:
транзитивно: если x~y, у~z, то x~z;
рефлексивно: x~х (любой набор товаров эквивалентен сам себе)
симметрично: x~y означает у~х.
Отношение безразличия делит пространство товаров С на классы эквивалентности, называемые множествами безразличия, каждое из которых состоит из всех наборов, безразличных заданному набору х.
Сказанное можно записать так: множество безразличия для товара х:
(2.7)
Введем понятие предпочтительного и непредпочтительного множеств.
Предпочтительное множество – множество, состоящее из наборов товаров, которые предпочитаются или безразличны заданному набору х.
(2.8)
Непредпочтительное множество – множество, которое состоит из тех наборов товаров, для которых х предпочтительнее или безразличен:
(2.9)
Аксиома 2. Слабое отношение предпочтения непрерывно.
Согласно аксиоме 2 отношение предпочтения непрерывно, т.е. предпочтительные множества и непредпочтительные множества являются замкнутыми множествами в пространстве С, т.е. содержат свои граничные точки. Причём
(2.10)
Формула (2.10) означает пересечение множества предпочтения с множеством непредпочтения.
Из двух основных аксиом совершенной полуупорядоченности и непрерывности, следует, что существует непрерывная функция вектора товаров х , которую обозначим . Функция называется фунуцией полезности. Для нее справедливо:
u(x) u(y), только если (2.11)
Будем считать u(x) дифференцируемой и такой, что градиент функции u(x) положителен:
(2.12)
Соотношение (2.12) означает, что все частные производные , i= , т.е. с увеличением количества товаров, функция полезности увеличивается.
Частные производные , , называются предельными полезностями.
Далее рассмотрим аксиому строгой выпуклости. Пусть х и у – различные наборы товаров в С, причем , тогда
. (2.13)
Согласно (2.8) и (2.13)
На рис. 2.1 изображено множество предпочтений , удовлетворяющее этой аксиоме соответственно для n=1, 2.
Рис.2.1. Точка 1 определяется выражением , точка 2 - выражением
На рис.2.1 граница множества - представляет собой множество безразличия , которое представляет собой кривую безразличия. Как видно из рис.2.1 множество - строго выпуклое. Тогда можно показать, что множество
, (2.14)
также выпуклое для любого вещественного а.
Рассмотрим в качестве примера рис. 2.2. На нем изображено для (пространство товаров - одномерное) множество , которое представляет собой заштрихованную часть числовой оси (оси -ов). Из рис.2.2 видно, что множество выпуклое для любого а.
Для иллюстрации вида множества в двумерном случае (размерность пространства товаров ) нам понадобится понятие линии равного уровня функции с числом переменных больше единицы.
Будем рассекать эту функцию плоскостями, параллельными координатной плоскости . Спроектируем линии пересечения функции с плоскостями на координатную плоскость, см. рис. 2.2.
Рис.2.2
Рис.2.3
Эти проекции наываются линиями равного уровня. На каждой такой линии значение функции полезности одинаковое. На рис. 2.3 приведены кривые для значений .
Кривая безразличия представляет собой линию равного уровня для функции . Без потери общности будем считать, что , где величина фигурирует в формуле (2.14). В силу свойства строгой выпуклости имеет место следующие неравенства . Множество представляет собой заштрихованную на рис. 2.3. область. Как видно, эта область – выпуклая.
Предположим, что – дважды непрерывно дифференцируемая функция и матрица ее вторых производных (матрица Гессе) отрицательно определена. Это означает, что для любого ненулевого - мерного вектора выполняется неравенство: . Отрицательно определеная матрица часто обозначается так: . В нашем случае, - матрица Гессе имеет вид:
.
Матрица Н – симметричная. Отрицательная определенность матрицы Н вместе с условием (2.14) означает , что строго вогнутаяфункция. Отсюда следует, что элементы на главной диаганали - отрицательные, т.е.
< 0 (2.15)
Из формулы (2.15) следует, что скорость изменения первой производной - предельной полезности – отрицательная. Таким образом, формула (2.15) означает, что предельная полезность любого товара уменьшается по мере того, как он потребляется. Допущение об отрицательной определености матрицы , которое влечет (2.15), называется законом Госсена.
Примеры функций полезности.
Квадратическая:
, , , ,
где - транспонированный вектор, - заданные величины.
Логарифмическая (Бернулли):
,
где - заданные величины.
Постоянной эластичности:
, >0, 0 < < 1, > >0, .
Величины - заданы.