- •Физика: Колебания и волны Модуль №5 Конспект лекций
- •5.1. Свободные незатухающие гармонические колебания
- •5.2. Математический маятник
- •5.3. Свободные незатухающие электромагнитные колебания
- •5.4. Сложение гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой
- •5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.6. Затухающие механические колебания
- •Характеристики затухающих колебаний
- •5.7. Затухающие электромагнитные колебания
- •5.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •5.9. Вынужденные электромагнитные колебания
- •5.10. Переменный ток
- •5.11. Векторная диаграмма для цепи переменного тока
- •5.12. Волны в упругих средах.
- •5.13. Стоячие волны.
- •5.14. Электромагнитные волны
- •5.15. Излучение электромагнитных волн. Шкала электромагнитных волн
- •Библиографический список
- •Модуль №5
- •620002, Екатеринбург, Мира 17
5.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
Вынужденные механические колебания происходят, когда на систему, кроме упругой силы и силы сопротивления, действует сила, величина которой меняется с течением времени по гармоническому закону. Эта внешняя сила периодически пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. Поэтому в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой.
Запишем II закон Ньютона для этого случая:
, (5.71)
где , - частота внешней силы. (5.72)
В проекции на направление движения (ось ) это уравнение имеет вид:
Введем обозначения: ; ; .
(5.73)
- это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний. Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неднородного уравнения:
. (5.74)
С течением времени первое слагаемое в этом выражении быстро уменьшается, поэтому установившиеся вынужденные колебания описываются вторым слагаемым. График зависимости x(t) в этом случае изображен на рис. 5.18.
Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы , амплитуда и начальная фаза определяются соотношениями:
, (5.75)
. (5.76)
Начальная фаза в данном случае определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.
Проанализируем зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы :
1) , ;
2) , ; (5.77)
3) в системе, совершающей вынужденные колебания, возможно явление резонанса.
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешней силы. Найдем резонансную частоту. Для этого производную по от приравняем к нулю:
; ,
Два корня этого уравнения (при и ) соответствуют минимумам . При
(5.78)
амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения. Это и есть резонансная частота.
Рис.5.19
Найдем амплитуду колебаний при резонансе:
. (5.79)
Зависимости от называются резонансными кривыми. Резонансные кривые в случае острого резонанса (затухание мало, ) и тупого резонанса (сильное затухание, ) представлены на рис. 5.19. Острота резонанса, т.е. высота и ширина резонансного пика, зависят от коэффициента затухания .
5.9. Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, в котором действует ЭДС, величина которой меняется по гармоническому закону.
З апишем закон сохранения энергии для колебательного контура, изображенного на рис. 5.20:
, (5.80)
.
Введем обозначения:
; ; ; ;
(5.81)
- дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Оно аналогично (5.73). Решение этого уравнения имеет вид, аналогичный (5.74):
. (5.82)
График этой зависимости представлен на рис. 5.21.
Установившиеся вынужденные колебания описываются вторым слагаемым в зависимости . Они происходят с частотой ЭДС , - разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС. и определяются соотношениями, аналогичными (5.75) и (5.76):
, (5.83)
. (5.84)
Видно, что и определяются свойствами контура и вынуждающей ЭДС, причем отстает по фазе от .
В электрической цепи, обладающей , и , в которую включена переменная ЭДС, возможны явления резонанса заряда и резонанса тока.
1). Резонанс заряда (напряжения).
Для нахождения резонансной частоты, аналогично тому, как это сделано в разделе 5.8, нужно взять производную по частоте ЭДС от и приравнять её нулю.
. Проделав соответствующие преобразования, получим:
(5.85)
. (5.86)
Резонансные кривые для резонанса заряда представлены на рис. 5.22.
2. Для нахождения резонансной частоты при резонансе тока найдем ток в контуре, используя соотношение :
. (5.87)
Амплитуда тока равна
. (5.88)
Как видно из этого выражения, амплитуда тока принимает наибольшее значение при такой частоте внешней ЭДС, при которой . Из этого соотношения находим резонансную частоту для резонанса тока
(5.89)
. (5.90)
Резонансные кривые для резонанса тока представлены на рис. 5.23. Острота резонанса зависит от активного сопротивления цепи .