5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

а). Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы

Получим уравнение траектории результирующего движения:

; ;

;

;

;

(5.44)

• уравнение траектории результирующего движения.

Частные случаи:

1. ; ; ;

(5.45)

• уравнение прямой. Траектория движения в этом случае изображена на рис. 5.9.

2. ; ;

(5.46)

-уравнение прямой. Траектория результирующего движения изображена на рис. 5.10.

3. 

(5.47)

• уравнение эллипса (при получается окружность).

Траектория результирующего движения изображена на рис.5.11.

Знак разности начальных фаз определяет направление движения точки по траектории.

б) Пусть частоты складываемых колебаний различны. В этом случае траектория результирующего движения зависит от отношения частот складываемых колебаний. Траектория результирующего движения при сложении взаимно перпендикулярных колебаний называется фигурой Лиссажу.

Пример:

, (5.48)

, (5.49)

; ; ;

; ; (5.50)

• уравнение параболы.

Фигура Лиссажу для случая изображена на рис.5.12.

Количество пересечений фигуры Лиссажу с осями координат Ox и Oy обратно пропорционально отношению частот складываемых колебаний.

. (5.51)

5.6. Затухающие механические колебания

Затухающие колебания возникают, если на систему, кроме упругой силы, действует сила сопротивления. II закон Ньютона:

, (5.52)

где , (5.53)

а - коэффициент сопротивления, - скорость системы.

Обозначим: , (5.54)

; , - коэффициент затухания. (5.55)

В проекции на ось Ох уравнение (5.54) приобретает вид:

(5.56)

• дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний.

Решение этого уравнения имеет вид:

, (5.57)

где (5.58)

- амплитуда затухающих колебаний.

Зависимость смещения от времени для этих колебаний представлена на рис. 5.13.

Энергия системы уменьшается из-за совершения работы против сил сопротивления, ее зависимость от времени имеет вид:

. (5.59)

Характеристики затухающих колебаний

1. - коэффициент затухания; ;

2. частота затухающих колебаний:

; (5.60)

3. период затухающих колебаний:

; (5.61)

4. декремент затухания:

; (5.62)

5. логарифмический декремент затухания:

; (5.63)

6. время релаксации (это время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз):

; ; ; ; (5.64)

7. число колебаний , за которое амплитуда уменьшается в раз:

. (5.65)

5.7. Затухающие электромагнитные колебания

Такие колебания возникают в колебательном контуре, который, кроме индуктивности и емкости , обладает активным сопротивлением . При протекании тока через сопротивление выделяется мощность, которую можно найти по закону Джоуля-Ленца . Вследствие этого полная энергия контура уменьшается с течением времени:

. (5.66)

; (5.67)

.

Обозначим ; , - коэффициент затухания электромагнитных колебаний;

; .

С учетом этих обозначений последнее уравнение приобретает вид:

(5.68)

Это – дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний. Оно аналогично (5.56). Решение этого уравнения имеет вид, аналогичный (5.57):

, (5.69)

где - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора. График зависимости заряда от времени изображен на рис 5.15.

Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:

1. коэффициент затухания: ;

2. частота затухающих колебаний: ;

3. период затухающих колебаний: ;

4. декремент затухания: ;

5. логарифмический декремент затухания:

; ;

6. время релаксации :

; ;

7. число колебаний за время релаксации :

.

В колебательном контуре, обладающем , и , возможны следующие режимы работы:

1. п

   Рис. 5.16

   ри малом затухании ( ) происходит периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора (рис. 5.15). Этот режим называется периодическим;

2. при сильном затухании ( ) колебаний заряда не происходит (рис. 5.16), величина - мнимая. Этот режим называется апериодическим.

3. ( );

; (5.70)

Э тот режим работы называется критическим. Сопротивление контура , при котором наблюдается этот режим, называется критическим. Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени в критическом режиме изображена на рис. 5.17.