[Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность P_k,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:   где q = 1-p

Доказательство

Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие A наступает с вероятностью  , следовательно противоположное ему событие с вероятностью  .

Обозначим A_i — наступление события A в испытании с номером i. Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

 где q = 1-p

12. Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра—Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра—Лапласа ~ Теорема Бернулли

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли растет, а вероятность pуменьшается, то точная формула   практически непригодна из-за громоздких вычислений и возникающих погрешностей округления. В этом случае пользуются приближенными формулами Пуассона (при npq < 9) и Муавра-Лапласа (npq > 9).

 

Теорема Пуассона

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и   так, что  ,  , то при любых 

Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле  можно воспользоваться приближенной формулой

, т.е. использовать формулу Пуассона для  = np.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина   при n    ограничена. Тогда  .

На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.

Точность формулы   растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n    для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в nиспытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

,

где  ,  ,   - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

, где  ,  .

Теорема Бернулли

 

Если  - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 < p < 1, то для любого  > 0 справедливо:  .

Утверждение теоремы Бернулли означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов  /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Достаточно часто возникает необходимость установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов  /n от вероятности p с вероятностью, больше или равной   было меньше  . Т.е. требуется найти n, для которого справедливо неравенство  . Доказано, что число n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, удовлетворяет соотношению  , где  - решение уравнения  . Следует обратить особое внимание на замечательный факт: искомое значениеn не зависит от p

14.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть   — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция  ,измеримая относительно   и борелевской σ-алгебры на  . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается еёраспределением.

Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

• Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

• В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

• Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно.

• Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.).

Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины

15.