Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность { x_n }.

Числа x₁,x_2…,x_n - называются членами последовательности, x_n – общим членом, или n-м членом данной последовательности.

Примеры:

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если ∃M<+∞ ∀ x_n≤M

-Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если ∃m>-∞ ∀ x_n ≥m.

-Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Вопрос 3. Предел числовой последовательности.

Определение: число А называется пределом последовательности { а_n }, если для любого положительного числа ε>0 найдется такой N(номер, зависящий от ε), начиная с которого будет выполняться неравенство: |х _n-а|< ε

Предел числовой последовательности обозначается или а_n→А при n→∞.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности { а_n } как угодно мало отличаются от числа А..

Последовательность всходящая, если у нее есть предел.

Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.

Теорема: Если последовательность сходится, то у нее существует единственный предел.

Доказательство методом от противного:

Пусть у сходящейся последовательности существует 2 предела.

a ≠ b.

Пусть N = max{N₁, N₂ }, тогда при всех n > N имеем

,

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

a = b.

Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство: пусть последовательность сходится, то есть . Тогда по определению выполняется . Пусть =1, тогда .

Пусть M=max{ }

            m=min{ }, тогда .

Значит, по определению последовательность является ограниченной.

Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не является достаточным. Существуют ограниченные последовательности, которые не являются сходящимися.

Например, .

Пусть последовательность ограничена, будет ли она сходящейся? – Ограниченная сходимость следует не всегда.

неограниченная

ограниченная

Вопрос 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями (для последовательности)

{x_n;n=1,2…}

{y_n;n=1,2…}

1) x_n ±y_n

2) Cx_n, c- const

3) x_n *y_n

4)

Вопрос 7. Переход к пределу в неравенствах

Пусть и ; ,

Тогда

Док-во:  предложим противное: > < ;

по определению пределов:

(*) <

(**) <

будут выполнены (*) и (**)

< < < < ;т.е

< ,что противоречит условию значит < не верно,а -верно(утверждение теоремы);

Вопрос 8. Теорема о двух милиционерах

тогда

Вопрос 9.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Последовательность x_n называется бесконечно малой, если ее предел = 0:

Теорема: Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину есть бесконечно малая величина.

Доказательство:

Дано: и , следовательно

Имеем,

Свойства бесконечно малой последовательности:

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

4. Частное от деления бесконечно малого предела на функцию, предел которой отличен от 0, есть бесконечно малая последовательность

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Последовательность x_n называется бесконечно большой, если для любого числа ε >0 можно указать номер N(ε) такой, что для всех n>N выполняется неравенство x_n>ε.

Последовательности n, 2n являются бесконечно большими.

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для xn с нечетными номерами.

Свойства бесконечно большой последовательности:

1. . Сумма и разность двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

2. Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

3. Частное от деления бесконечно большого предела на функцию, предел кт отличен от 0, есть бесконечно большая послед.