1)Числовые множества. Структура множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.

Под множеством понимается совокупность любых вполне различных предметов, которые при этом называются элементами множества. A={a1, a2, …, an}. Множества: конченые(если мн-во содержит конечное число элементов) и бесконечные(в противном случае).

Два мн-ва называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Структура множества действительных чисел.

1. N – мн-во натуральных чисел {1, 2, …, n} (сложение, умножение)

2. Z – мн-во целых чисел {0, ±1, ±2, …, ±n, …} (сложение, умножение, вычитание)

3. Q - мн-во рациональных чисел {m/n, mЄZ, nЄN}

Иррациональные числа представимы в виде бесконечной непериодической дроби.

4. R - мн-во действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа вместе.

Свойства множества действительных чисел.

1. R – упорядоченное множество.для любых двух различных вещественных чисел a и b выполняется либо a<b, либо a>b.

2. R – плотное мн-во. Между любыми двумя различными числами a и b существует бесконечное мн-во действительных чисел.

3. R – непрерывное мн-во. Св-во непрерывности позволяет установить соответствие между эл-ми мн-ва R и точками оси, т.е. каждой точке действительной оси соответствует вполне определенное действительное число и наоборот.

Опред. Мн-во действительных чисел R будем называть расширенной системой действит. чисел, если к нему присоединены два несобственных числа +∞ и - ∞, удовлетворяющие след. условию: если х – конечное, то

1. х+∞=+∞

2. х-∞=-∞

3. х/±∞=0

   

4. ±∞/x= ±∞, если x>0

∓∞, если x<0

5. x*(±∞)= ±∞, если x>0

∓∞, если x<0

________________________________________________________________________

2)Числовые подмножества. Числовые промежутки. Окрестность точки

Опред. Пусть А и В-два мн-ва. Если каждый эл-нт мн-ва А является эл-том мн-ва В, то мн-во А называется подмн-вом мн-ва В.

Числовые промежутки. (E c R).

1) Е = [a, b] = {xЄR, a≤x≤b} – отрезок(закрытый промежуток)

2) Е = (a, b) = {xЄR, a<x,b} – интервал(открытый промежуток)

3) E = [a, b) = {xЄR, a≤x<b} – полуинтервал

4) E = (a, b] = {xЄR, a<x≤b} – полуинтервал

5) E = (-∞, a] = {xЄR, -∞<x≤a} – бесконечный полуинтервал

6) E = (-∞, a) = {xЄR, -∞<x<a} – бесконечный полуинтервал

7) E = [b, +∞) = {xЄR, b≤x<+∞} – бесконечный полуинтервал

8) E = (b, +∞) = { xЄR, b<x<+∞} – бесконечный полуинтервал

Интервал вида (x₀-ε, x₀+ε), где ε-любое положительное число, назыв. эпсилон-окрестностью точки x₀, а x₀ – центр этой ε-окр-ти.

Если xЄ(x₀-ε, x₀+ε), то x₀-ε<x<x₀+ε. => -ε<x-x_0<+ε => |x-x₀|<ε – x принадлежит ε-окр-ти в точке x₀.

________________________________________________________________________

3) Ограниченные числовые множества, точные грани множеств.

Пусть EcR.

Опред.1: если для рассматриваемого мн-ва Е существует такое действит. число М, что все элементы данного мн-ва удовлетв. условию х≤М, то говорят, что мн-во Е ограниченного сверху, а число М назыв. верхней границей мн-ва Е

(ƎМϵR)( xϵE):x≤M

Опред.2: мн-во Е назыв. ограниченным снизу, если существует такое действит. число m, что все эл-ты данного мн-ва удовлетв. условию x≥m

(ƎmϵR)( xϵE): x≥m

Опред.3: мн-во Е назыв. ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу одновременно

(ƎМϵR, ƎmϵR)( xϵE):m≤x≤M

Если мн-во огранич. сверху, то оно имеет бесконечное мн-во верхних границ. Среди них выдел. наим. верхнюю границу, т.е. границу, которая ближе всех к мн-ву.

Опред.4: наим. из всех верхних границ М назыв. точной верхней гранью мн-ва Е, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. (xϵE):x≤M

2. (ε>0)(Ǝx_εϵE):M-ε<x_ε≤M

M=sup – точная верхняя граница

Если мн-во ограничено снизу, оно имеет бесконечно много нижних границ. Среди мн-ва нижних выбирают ту, которая ближе подходит к мн-ву. Ее назыв. точной нижней границей.

Опред.5: наиб. из всех нижних границ m назыв. точной нижней гранью. Число m явл. точной нижней границей, если для него выполн. след. правила:

1. (xϵE): x≥m

2. (ε>0)(Ǝx_εϵE):x<m+ε

m=inf – точная нижняя граница

Теор: Всякое огранич. снизу мн-во имеет точную нижнюю границу, всякое огранич. сверху мн-во имеет точную верхнюю границу. Если мн-во Е не ограничено сверху, то за его точную верхнюю границу берут +∞. Если мн-во Е не ограничено снизу, то за его точную нижнюю границу берут -∞.

________________________________________________________________________