Содержание дисциплины
Введение.
Математика и научно – технический прогресс. Современная вычислительная техника и области её применения в народном хозяйстве. Понятие о математическом моделировании. Роль математики в подготовке специалистов среднего звена (применительно к данной специальности).
Векторы и координаты.
Векторные величины. Векторы. Действия над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное умножение векторов). Разложение вектора. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.
Уравнение линии на плоскости. Понятие о параметрическом уравнении линии. Уравнение прямой. Исследование взаимного расположения двух прямых. Нахождения угла между прямыми.
Уравнение второй степени с двумя переменными. Кривые второго порядка, их простейшие свойства и применения.
Литература: [4], гл. 1, § 1 – 23; гл. 2, § 28 – 41; гл. 3, § 42 – 60; [7]гл. 2, § 1 – 10; гл. 4, § 1 – 11; [8] гл. 1, § 1 – 8; гл. 2, § 1 – 10; гл. 3, § 1 – 12.
Производная и её приложения.
В ходе изучения темы «Производная и её приложения» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, необходимые для чтения и построения графиков элементарных функций, моделирования простейших реальных процессов с помощью производной.
В результате изучения темы студенты должны знать:
Дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования;
Вычислять значения производной функции в указанной точке;
Находить угловой коэффициент и угол наклона касательной к графику функции в данной точке;
Находить скорость изменения функции в точке;
Применять производную для исследования реальных процессов (нахождения скорости неравномерного движения, угловой скорости, значения переменного тока, линейной плотности неординарного стержня и т.д.);
Находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;
Находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке;
Применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;
Проводить исследования и строить графики многочленов;
Находить наибольшее и наименьшее значение в промежутке;
Решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин.
Производная, её геометрический и механический смысл. Производная степенной функции с натуральным показателем. Произведение синуса и косинуса.
Производные суммы, произведения и частного двух функций.
Правило дифференцирования сложной функции. Вторая производная и её физический смысл.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум функции Исследование функции на экстремум.
Применение производной к построению графиков функции. Наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке.
Литература: [2], гл. 4, § 15 – 19; гл. 6, § 27 – 30; гл. 7, § 31 – 37; [3], гл. 2, § 4; гл. 5, § 1 – 17; гл. 6, § 1 – 15.
Интеграл и его приложения.
В ходе изучения темы «Интеграл и его положение» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, позволяющие решать несложные геометрические, физические и другие прикладные задачи средствами интегрального счисления.
В результате изучения темы студенты должны уметь:
находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;
выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количества электричества по силе тока и т.д.;
вычислить определенный интеграл с помощью основных свойств и формул Ньютона – Лейбница;
находить площади криволинейных трапеций;
решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к вычислению интеграла.
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Нахождение неопределённого интеграла.
Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.
Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла.
Литература: [3], гл. 2, § 5 (1 – 3), § 6 (1, 2); гл. 3, § 7 – 10 (1, 2), 11 (1, 2); гл. 4, § 12, 14 (1 – 3); [7], гл. 7, § 1 – 6; гл. 8, § 1 – 14.
Дифференциальные уравнения.
В ходе изучения темы «Интеграл и его положение» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, позволяющие решать несложные геометрические, физические и другие прикладные задачи средствами интегрального счисления.
В результате изучения темы студенты должны уметь:
находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;
выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;
восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количества электричества по силе тока и т.д.;
вычислить определенный интеграл с помощью основных свойств и формул Ньютона – Лейбница;
находить площади криволинейных трапеций;
решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к вычислению интеграла.
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Нахождение неопределённого интеграла.
Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.
Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла.
Литература: [3], гл. 7, § 24 – 30, [7], гл. 10, § 1, 2.
Геометрические тела и поверхности.
В ходе изучения темы «Геометрические тела и поверхности» студенты должны получить систематические знания об основных видах геометрических тел и поверхностей, их свойствах.
В результате изучения темы студенты должны уметь.
вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид, прямых круговых цилиндра и конуса, шара;
строить и вычислять площади простейших сечений многогранников и круглых тел, указанных выше.
Тело и поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства. Пирамида. Свойства параллельных сечений в пирамиде. Понятие о правильных многогранниках.
Поверхность вращения. Тело вращения. Цилиндр и конус. Сечения цилиндра и конуса плоскостью.
Шар и сфера. Взаимное расположение плоскости и шара. Касательная плоскость к сфере.
Объёмы и площади поверхностей геометрических тел.
В ходе изучения темы «Объёмы и площади поверхностей геометрических тел» студенты должны усвоить понятия объёма и площади поверхности тела, овладеть навыками их вычисления, научиться решать несложные задачи с практическим содержанием.
В результате изучения темы студенты должны уметь.
находить объём прямой призмы, пирамиды, прямого кругового конуса и цилиндра, шара;
находить площади поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.
Объём тела. Объём призмы, пирамиды,
Элементы теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Относительная частота события. Определение вероятности события.
Основные понятия комбинаторики.
Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей. Независимые события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Дискретная случайная величина, закон её распределения. Биномиальное распределение, формула Бернулли.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел. Понятие о задачах математической статистики.
Литература: [3], гл. 6, § 18 (1 – 3); гл. 7 § 20 – 23; [7], гл. 11, § 1 – 9.