Для прямоугольного сечения, показанного на рис. 1.

J_x = = = 8 ^. 10 м

J_y = = = 2880 см = 2.88^.10 м

Для сечений составленных из прокатных профилей, моменты инерции определяются с учетом параллельного переноса осей.

Известно, что при косом изгибе наиболее напряженными являются точки, наиболее удаленные от нулевой линии, положение которой определяется углом ,

tg   – tg 

здесь – угол наклона плоскости действия нагрузки к вертикальной оси сечения.

Если нагрузка, действующая на балку, не лежит в одной плоскости, то

tg  т.е. tg  

В рассматриваемом примере

tg   =–1,48;  =–49

Угол  откладывается от горизонтальной оси. Нулевая линия проходит через те квадранты, координаты точек которых имеют разные знака (II и IV)– рис. 2.

Наиболее удалены от нейтральной оси точки m и n сечения. Напряжение в этих точках

_m  0,10 + 0,06 = 74,70 МПа

_n    0,10 –  0,06 =–74,70 МПа

Эпюра напряжений в сечении представлена на рис. 2

Для определения прогибов воспользуемся методом начальных параметров. Вертикальное перемещение определяем от нагрузки в плоскости ZOY (рис. 1б). Крайнее левое сечение балки защемлено, т.е. начальный прогиб и угол поворота равны нулю.

Рисунок 1.

Универсальное уравнение упругой линии

EJV EJV_o  EJQ_o Z  + + + .

При Z  1м

EJ_xV_y  – + =13553 Нм

V_y  – = – 0,84710 м= – 0,085 см ;

При Z  2м

EJ_xV_y  – + – = – 38264 Нм

V_y  – = – 2,39^.10 м= – 0,24 см

Рисунок 2.

В горизонтальной плоскости (рис. 1г)

При Z  1м

EJ_yV_x  – + = – 5833 Нм ,

Vx  = – 0,101 см:

При Z  2м

EJ_yV_x   + - = – 17084 Нм

V_x  = – 0,297 см.

Суммарный прогиб V 

Для сечения по середине балки, (Z=1)

V = =0,132 см.

На свободном конце балки

V= =0,382 см.

Тангенс угла максимального прогиба

tg   = =1,2375;

Направление максимального прогиба показано на рис. 2

Задача 4.2.

Произвести расчет вала на кручение с изгибом.

1. Построить эпюру силовых факторов и показать опасные сечения.

2. Рассчитать диаметр вала из условия прочности при следующих данных:

а) вал стальной [  ]  160 МПа

б) вал чугунный [ _р]  80 МПа; [ _c ] = 120 МПа

РЕШЕНИЕ

Предполагается, что два из шкивов (или шестерен) с диаметром Д₁ и Д₂ являются ведомыми и передают мощности N₁ и N₂ c помощью ременной или зубчатой передачи. Шкив (шестерня) с диаметром Д₃ является ведущим. Вал вращается, совершая n об/мин.

Вал испытывает кручение и изгиб, вызываемые усилиями натяжения ремней и силами давления на зубья шестерен. Для решения задачи необходимо определить моменты, приложенные к шкивам (или шестерням) по заданным величинам N и n, пользуясь формулой

М  .

Для вала показанного на рис.3(а) при

N₁  N₂  7,5 кВт; n  1000 об/мин.

М₁  М₂  =71,6 Нм; M₃=M₁+M₂=143,2 Нм.

По заданным моментам строим эпюру крутящих моментов (рис. 3б). Далее необходимо определить натяжение ремней для каждого шкива, а также давления на зубья шестерен Р по найденным моментам и заданным диаметрам. Приближенно натяжение ведущей ветви ремня принимается в два раза больше натяжения ведомой ветви, т.е. Т  t₂

t₃  = =955 H; P₁= =

P₂= .

Давление на вал в месте посадки шкива для ременной передачи

R₃  3 t₃  2865 Н.

В местах посадки шестерен

R₁  Р₁  716 Н; R₂ Р₂  358Н.

Для построения эпюр изгибающих моментов необходимо определить силы, изгибающие вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях, спроецировав на соответствующую плоскость найденные давления на вал, вычертить схему нагрузки в каждой из этих плоскостей, рассматривая вал как балку на двух опорах. При составлении схем следует обратить внимание на направление проекций сил. Схема изгибающей нагрузки в вертикальной плоскости показана на рис. 3б, нагрузка в горизонтальной плоскости на рис. 3д. В обеих плоскостях необходимо построить эпюры изгибающих моментов.

В вертикальной плоскости на трех участках балки изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра изгибающих моментов (рис. 3г) может быть построена без определения опорных реакций.

М_а  Р₁ а= 358 Нм, М_в  –R₂Cos с= –179 Hм.

Опорные реакции в горизонтальной плоскости:

А_х 

А_х 1587 H;

В_х  ;

В_х 1278 H.

Рисунок 3.

Проверка:

Момент в сечении под шкивом

М  Ах ^. а  1587^.0,5  794 Нм;

Момент в сечении В

Мв  –P

Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости показана на рис. 3е.

Для построения эпюры суммарного изгибающего момента (рис. 3ж) необходимо для всех характерных сечений геометрически просуммировать изгибающие моменты М_х и М_у

М_изг 

В сечении под шкивом D3

М_изг 

В сечении В

М_изг 

Величина суммарного изгибающего момента всегда положительна. В каждом поперечном сечении вала будет своя плоскость действия суммарного изгибающего момента, но для круглого сечения можно совместить плоскости действия суммарных изгибающих моментов с плоскостью чертежа. При построении эпюры надо учесть, что для некоторых участков вала она будет криволинейной.

Сопоставляя эпюры крутящих и суммарных изгибающих моментов, можно утверждать, что опасным является сечение в месте посадки шкива, так как в этом сечении действует наибольший суммарный изгибающий момент, а величина крутящего момента во всех сечениях одинакова.

Далее по значениям суммарного изгибающего момента в опасном сечении необходимо подсчитать эквивалентный (приведенный) момент, а затем из условия прочности определить диаметр вала.

  , W_x=0,1d .

Расчеты произвести для стального и чугунного вала, выбирая соответствующую теорию прочности при подсчете эквивалентного (приведенного) момента.

; ;

по теории прочности Мора

,

Где

Задача 4.3.

На бетонное основание заданной формы поперечного сечения передается нагрузка от установленных на нем машин весом Р₁ и Р₂ (или одной из них) и опорой плиты весом G. Учитывая собственный вес основания, выполнить следующие расчеты:

1. Определить нормальные напряжения в характерных точках опасного сечения, построить их эпюру и найти максимальное напряжение.

2. Найти положение нулевой линии и сравнить его с полученным по эпюре.

РЕШЕНИЕ

Нагрузки приложены к стержню c эксцентриситетом т.е. стержень испытывает внецентренное сжатие, что приводит к осевому сжатию и чистому изгибу (косому или плоскому).

В общем случае полное напряжение в любой точке поперечного сечения имеющей координаты Х и У, определяется как сумма напряжений:

 

Здесь J_х и J_у – моменты инерции сечения относительно главных осей;

N - сжимающая осевая нагрузка, равная сумме приложенных к стержню сил и его собственного веса.

Х_р, У_р– координаты точки приложения силы.

Если моменты М_х  РУ_р и М_у  РХ_р вызываются различными силами, то величины Р, Х_р, У_р следует подставить в формулу с соответствующими индексами. При сжатии перед скобкой следует учитывать знак «минус». Так как для определения напряжений необходимо знать положение главных осей и величины моментов инерции сечения, решение задачи необходимо начинать с определения положения центра тяжести заданного сечения. Если сечение имеет одну ось симметрии, то одну из координат центра тяжести можно считать известной, а другую нужно определить, как это делалось в расчетно-графической работе № 2. Затем необходимо провести центральные оси сечения Х и У, относительно которых подсчитать главные моменты инерции J_x и J_y. Необходимо помнить, что момент инерции сложного сечения равен алгебраической сумме моментов инерции его частей. При этом, в случае необходимости, учитывают зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей.

Наибольшие напряжения при внецентренном действии продольной силы возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Положение нулевой линии определяется отрезками, отсекаемыми ею на главных осях:

а_х – ; а_y=– ;

здесь и –квадраты радиусов инерции сечения;

i

Величины Х_р, У_р следует подставлять в формулы с учетом их знаков. Полученные отрезки необходимо отложить на осях, как показано на рис.4. Проведя касательные к контуру сечения параллельно нулевой линии, определим положение точек m и n, в которых будут действовать наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

Рисунок 4

При определении напряжений координаты Х и У точек m и n, а также координаты Х_р и У_р точек приложения сил, необходимо подставлять в формулы с учетом их знаков в системе главных осей ХОУ ( Х_р0, У_р0, У_n0 и т.д.). Затем необходимо построить эпюру напряжений, откладывая _m и _n от оси эпюры, перпендикулярной нулевой линии. Если нулевая линия выходит за пределы сечения, напряжения в сечении будут одного знака.

Рисунок 5.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-графической работы № 5

«РАСЧЕТ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛимых СИСТЕМ»

Задача 5.1.

Рассчитать статистически неопределимую плоскую раму, указанную на рис. 4а и подобрать двутавровое сечение при [  ]  160 МПа. Жесткости элементов рамы считать одинаковыми, длины элементов а  6.0 м; внешняя нагрузка q  30 Кн/м

РЕШЕНИЕ

Определяем степень статической неопределимости рамы

n  3к – В  32 – 4  2

Рама два раза статически неопределима. В качестве основной системы выберем ломаный брус с защемлением в сечении С (рис. 1б)

Канонические уравнения метода сил для системы:

Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов для основной системы показаны на рис. 5в, 5г, 5д.

Для определения коэффициента ₁₁ умножаем эпюру М₁ на М₁ по правилу Верещагина, т.е. площадь эпюры на каждом участке умножаем на величину момента под центром тяжести этой площади:

₁₁   dz =  + =

Для определения ₂₂ умножаем эпюру М₂ на М₂

₂₂   dz = =

Для определения ₁₂ и ₂₁ умножаем М₁ на М₂

₁₂  ₂₁  =

Свободные члены канонических уравнений определяются перемножением грузовой эпюры моментов М_р на соответствующую единичную эпюру моментов

;

Подставив найденные величины перемещений в канонические уравнения и сократив на общий множитель получим:

Решив эту систему уравнений, определим неизвестные усилия

Х₁ = ; Х₂=

Для построения окончательной эпюры прикладываем к основной системе заданную нагрузку и найденные усилия Х₁ и Х₂ (рис. 5б). В случае отрицательных величин Х₁ и Х₂ их направления будут противоположны принятому при выборе основной системы.

Составляем уравнение изгибающих моментов для каждого участка рамы.

Для элемента АВ:

Исследуем функцию момента на экстремум:

;

Для элемента ВС:

;

;

Z₂ =0 ;

Z₂ = a .

Окончательная эпюра моментов изображена на рис 5ж. Также окончательная эпюра моментов может быть получена и другим способом: просуммируем для всех характерных сечений величины моментов в этих сечениях на единичных эпюрах, умноженных на найденные значения соответствующего неизвестного и грузовые моменты:

ММ₁  Х₁ М₂ Х₂ М_р

М_а  0; ;

Найденные значения моментов в узлах позволяют записать функцию моментов в произвольном сечении элементов рамы, если рассмотреть этот элемент как простую двухопорную балку, загруженную внешней нагрузкой и найденными узловыми моментами.

Так для элемента АВ величина момента в произвольном сечении может быть записана так:

Эпюры Q и  строятся обычным способом от совместного действия нагрузки и найденных величин реакций отброшенных связей на основную систему (рис. 5б), они показаны на рис. 5е и 5з.

Для проверки правильности эпюр М, О и могут быть составлены условия статического равновесия всей рамы в целом, а также ее узлов (статическая проверка).

Для рамы в целом должны удовлетворятся следующие уравнения равновесия:

Рассмотрим равновесие узла В рамы

Статическая проверка гарантирует правильность расчета основной системы на действие внешней нагрузки и реакции отброшенных связей, но не гарантирует правильность определения этих реакций, т.е. не гарантирует соответствия основной системы и системы заданной.

Ошибки в найденных значениях неизвестных могут быть обнаружены с помощью деформационной проверки. При выполнении деформационной проверки определяются перемещения по направлению отброшенных связей. При соответствии основной системы заданной системе, эти перемещения должны иметь нулевые значения, т.е.

₁= ₂=

При определении этих перемещений окончательная эпюра моментов умножается на соответствующую единичную эпюру моментов.

При определении  эпюру М по стойке АВ представим как алгебраическую сумму отрицательной площади треугольника с ординатой

Максимум момента по середине стойки , тогда

Для подбора сечения необходимо выявить положение опасного сечения рамы. Максимальный момент

Действует в сечении стойки А.

По максимальному моменту подбираем необходимое сечение, используя условие прочности при изгибе

Принимаем двутавр № 33 с W_x=597 см ; F=53,8 см .

Проверим прочность сечения с учетом продольной силы

Так как расчетное напряжение в опасном сечении стойки превышает допустимое более, чем на 5%, сечение должно быть увеличено. Следующее в сортаменте сечение двутавра № 36

W_x=743 см , F=61,9 см .

Кроме указанного сечения на прочность следует проверить сечение В ригеля ВС, в котором действует изгибающий момент

и продольная сила

Максимальные напряжения в сечении.