1.Множество. Операции над множествами.

Множество-это собрание опред-х элементов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью и мыслимых нами как единое целое.(а А,ВcА)

Операции над множествами:

• Объединение мн-в А и В(AUB)-это мн-во состоящее из элементов мн-ва А или мн-ва В. AuB={x:x А или х В}.

• Пересечение мн-в А и В (А∩В)- это мн-во состоящее из элементов, которые принадлежат и мн-ву В. А∩В={x:x А и х В}.

• Разность мн-в А и В(или дополнения мн-ва А и мн-ва В)-это мн-ва элем-в А, которые одновременно принадлежат. (А\В)= {x:x А и х В}

• Абсолютное дополнение или отрицание мн-в-это все элементы х, которые принадлежат.(А={x:x А})

• Симметрическая разность А и В-все элементы мн-ва А кроме мн-ва В(А⌂В=(А\В)U(В\А))

2. Свойства 10-х преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.

1. Разным рациональным числам соответствуют различные (не совпадающие) бесконечные десятичные дроби.

2. Для любого рационального числа a его десятичное представление, полученное делением углом, есть бесконечная периодическая десятичная дробь.

3. У бесконечной десятичной дроби, полученной делением углом, не может быть 9 в периоде.

Доказательство:

a Q , α- дробная часть десятичного представления.

а Q→a₀, а₁, а₂,…,а_к9…9, которая имеет 9 в периоде

тогда Рассмотрим дробную часть

a₀, а₁, а₂,…,а_к9…9(n),

a₀, а₁, а₂,…,а_к9…9…99(α)<0

a₀, а₁, а₂,…,а_к9…9…99 + 1/10ⁿ= a₀, а₁, а₂,…,а_к+1=0<z- α <1/10ⁿ(*), 1/( z- α)>10ⁿ n N

Нер-во (*)не может оставаться справедливым для любого натур-го n, т.е. при каком либо натур-м n оно нарушиться т.о. рац-я дробь не имеет 9-ки в периоде.

4.Всякая бесконечная периодическая дробь без 9 в периоде является десятичным представлением некоторого рационального числа.

Бесконечные непериодические дроби – иррациональные числа.

a I, QUI=R – действительные числа (вещественные).

Множество действительных чисел.

N-мн-во натуральных чисел;

Z-NU{0} и{-1,-2,-3,…};

Q-{m/n, где m Z, n N}

Расширение области рац-х чисел, предложено 2-мя способами:

- Метод Кантера(метод 10-х дробей);

- Способ Дедекинда.

Рассмотрим метод Кантера. Любую рац-ю дробь вида m/n, правильную можно представить в виде 10-ой дроби, делением уголком причем в рез-те будут получаться конечные 10-е дроби или бесконечные, но периодические 10-ые дроби.

3. Абсолютная величина числа.

|а|=

Свойства абсолютной величины.

1. |а|=max

2. |а| 0

3. |а|=|-а|

4. |а|<b -b<a<b

Доказательство.

|а|<b

5. -|а| а |а|

Доказательство.

а |а| -а |-а|=|а| а -|а|

6. |а+b| |а|+|b|

Доказательство.

По свойству 5

-(|а|+|b|) a+b |а|+|b| : a+b=А; |а|+|b|=B

-B A B

|A| B

7. |a-b| ||a|-|b||

Доказательство:

|а| = |а-b+b| |a-b|+|b| |a|-|b| |a-b|,

|b| = |b-a+a| |b-a|+|a| |b|-|a| |b-a| = |a-b|,

|a|-|b| |a-b|

|a|-|b| -|a-b|

||a|-|b||

4. Границы числовых множеств. Свойства точных границ.

AcR, A≠0

Число b R наз-ся верхней (нижней) границей мн-ва А если для любого элемента а выпол-ся а<=b (a>=b).

Наибольшее из нижних границ числового мн-ва наз-ся инфиниумом мн-ва А и обозначается infA-точная нижняя граница мн-ва А.

Наим-ее из верхних границ числового мн-ва А, наз-тся супремом и обоз-ся sup A – точная верхняя граница.

Супремум и инфиниум яв-ся обобщением max и min элементов мн-ва, т.е. если в мн-ве есть max элемент, то это и будет супремумом.

Св-ва:

1. Критерии sup и inf – для того чтобы В было точной верх-й(нижн-й) гран-й мн-ва А необходимо и достаточно чтобы:

• Число b было верхней (нижн) гран-й мн-ва А; для любого числа c<b нашлось бы число а из нашего мн-ва, такое что a>c(<c)

(¥c<b(>b) сущ a A a>c(<c));

2. Всякое ограниченное сверху(снизу) мн-ва имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.

3. Для любого ограниченного мн-ва А отличного от 0, выполняется что infA< = supA;

4. Для любых мн-в АcВcR, где В ограниченное, A≠0, справедливо, что infA≤infB≤supA≤supB.