1. Векторное пространство. Пространства арифметических и алгебраических векторов.

(1 вариант)

Векторное пространство.Пространство арифметических и геометрических векторов. Векторное пространство -совокупность векторов трёхмерного пространства. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность N вещественных чисел. Обозначается , числа называются координатами арифметического вектора.Для арифметических векторов определены линейные операции - сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: , для любых и и любого числа Св-ва арифм.в.:1)(а+в)+с=а+(в+с)ассоциативность;2)а+в=в+акоммутативность.3)а+0=0+а=а сущ.нулевой вектор;4)-а=(-а1,-а2,-а3)сущ. Обратного эл-та.5)9(2а)=18аумнож.на число ассоциативно;6)1*а=а; Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения, и умножения на число называется пространством арифметических векторов . Геометрический вектор-направленный отрезок,у которого есть начало и конец. Св-ва:длина(модуль) и напрвление

(2 вариант)

Вектор- элемент линейного пространства

н-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из н-вещественных чисел

Обозначается x = (x₁, x₂, ..., x_n);

числа x₁, x₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:

для любых x = (x₁, x₂, ..., x_n), y = (y₁, y₂, ..., y_n) и любого числа α справедливо:

x + y = (x₁+ y₁, x₂ +y₂, ..., x_n+ y_n); αx = (αx₁, αx₂, ..., αx_n).

Достаточно умножить на это число каждый компонент

2)сложение

суммой 2х векторов называется вектор, компоненты которого являются суммами соответствующих компонентам этих векторов

1)умножение

для того чтобы умножить ,

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn,

а вектор −x = (−x₁, −x₂, ..., −x_n) — противоположным вектором для вектора x вRn.

Геометрический вектор - направленный отрезок

2 направленных отрезка называется равными если

у них одинаковые длины, параллельны и соноправлены

свободный вектор — это множество равных между собой направленных отрезков

  Сумма векторов:

       (правило треугольника) (рис. 1.22);

       (правило параллелограмма) (рис. 1.23);

       (правило многоугольника);

       (правило параллелепипеда,   - диагональ).

     Разность векторов: 

     Формула вычитания векторов:   (рис. 1.24).

     Признак коллинеарности векторов: 

Векторное пространство

Перевод

Векторное пространство

        математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторовобычного трёхмерного пространства.

         Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

         1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

         5) 1 · х = х,

         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);

         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

         Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

         α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_ne_n (1)

         называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами α₁, α₂,..., α_n.Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂,..., α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

         Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

         В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют nлинейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

         x = α₁e₁ + α₂e₂ +... + α_ne_n.

         При этом числа α₁, α_2,..., α_n называются координатами вектора х в данном базисе.