2.7. Решение систем линейных уравнений

При решении задач линейной алгебры необходимость вычислять определитель возникает достаточно часто. Наиболее распространенные приложения определителя – исследование и решение систем линейных уравнений (СЛУ). В следующем примере рассмотрим решение СЛУ по формулам Крамера.

Пример 2.7.1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выполнение: введите в документе матрицу А коэффициентов системы и столбец b свободных членов. Справедливо следующее утверждение: если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера. В соответствии с этим, найдите определитель матрицы А, как показано на следующем фрагменте документа. Для ввода Δ воспользуйтесь панелью греческих символов, для вывода значения определителя – символьным знаком равенства на панели Символы (Symbolics).

Видим, что определитель отличен от нуля, значит, система имеет единственное решение. Далее, по формулам Крамера найдем определитель Δ1 матрицы А, предварительно заменив ее первый столбец вектор-столбцом b. Для этого проще всего скопировать матрицу А в буфер обмена, затем щелкнуть мышью по кнопке панели Матрицы (Matrix), вставить в помеченную позицию матрицу из буфера обмена и затем заменить соответствующие элементы. Теперь для нахождения первого решения системы можем воспользоваться формулой х1= , что показано ниже.

Далее приведен фрагмент документа, в котором отображено нахождение остальных решений СЛУ:

Пример 2.7.2. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

Выполнение: система линейных алгебраических уравнений может быть записана в виде простейшего матричного уравнения Ах = b, откуда х = А^-1 b при условии, что матрица А – невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля.

Поэтому для решения СЛУ с помощью MathCAD сначала в документе введите матрицу А системы и столбец b правой части, затем найдите определитель |A|, запишите формулу для х. Далее, для отображения решения системы воспользуйтесь кнопкой на панели Символы (Symbolics). Фрагмент документа, содержащий решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных, приведен ниже.

Для численного решения систем линейных уравнений в MathCAD имеется специальная функция lsolve(A,b). Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x = b, выдавая решение – вектор x.

Пример 2.7.3. Решить систему линейных уравнений

Выполнение: введите в документе MathCAD матрицу А коэффициентов системы, вектор b свободных членов. Далее для нахождения вектора х решений системы используйте функцию lsolv (вводится с клавиатуры), как показано далее.

2.8. Задачи математического анализа: вычисление пределов функций, производных, интегралов, числовых рядов

Большинство инструментов для решения задач математического анализа собрано в панели Матанализ (Calculus), которая открывается щелчком мыши по кнопке в панели математических инструментов.

Пример 2.8.1. Вычислить пределы:

, , .

Выполнение: три нижние кнопки в панели предназначены для вычисления пределов. Кнопкой в рабочий документ вставляется оператор вычисления предела функции в точке или на бесконечности, кнопками и  – операторы вычисления односторонних пределов соответственно справа и слева. Необходимо помнить, что пределы, в отличие от большинства математических операций в MathCAD, можно вычислить только в символьном виде, а при попытке вычислить предел численно (с помощью знака “=”) будет выдано сообщение об ошибке.

Для того, чтобы вычислить предел, щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе, затем – по нужной кнопке. Введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение допредельной функции и предельной точки, выделите все выражение и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) и пункте Расчеты (Evaluate) по строке Символические (Symbolically) или используйте кнопку на панели Символы (Symbolics). Ниже на фрагменте рабочего документа показано выполнение данного примера.

Пример 2.8.2. Вычислить производные и .

Выполнение: поставьте визир в свободном месте документа, щелкните мышью в панели Матанализ (Calculus) по кнопке для вычисления первой производной или по кнопке для вычисления производной высшего порядка. Далее введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента, порядок производной для высших производных, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) и пункте Расчеты (Evaluate) по строке Символические (Symbolically) или используйте кнопку на панели Символы (Symbolics).

Для того, чтобы найти производную с помощью меню, введите в рабочий документ выражение для функции, выделите аргумент и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) в пункте Переменные (Variable) по строке Дифференциалы (Differentiate). Ниже приведен фрагмент рабочего документа с вычислением производных.

Пример 2.8.3. Вычислить интегралы и .

Выполнение: щелкните мышью в свободном месте документа, затем в панели Матанализ (Calculus) по кнопке для вычисления неопределенного интеграла или по кнопке для вычисления определенного интеграла. Далее введите с клавиатуры в помеченных позициях выражение для функции и имя переменной интегрирования, а также пределы интегрирования для определенного интеграла, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) и пункте Расчеты (Evaluate) по строке Символические (Symbolically), или используйте кнопку на панели Символы (Symbolics).

Для того чтобы найти неопределенный интеграл с помощью меню, введите в рабочий документ выражение для интегрируемой функции, выделите переменную интегрирования и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) в пункте Переменные (Variable) по строке Интеграция (Integrate). Ниже приведен фрагмент рабочего документа с соответствующими вычислениями неопределенного и определенного интегралов.

Пример 2.8.4. Вычислить суммы рядов и .

Выполнение: щелкните мышью в свободном месте рабочего документа, затем в панели Матанализ (Calculus) по кнопке . Далее введите с клавиатуры в помеченных позициях выражение для функции, имя индекса суммирования, его первое и последнее значения, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните мышью в меню Символы (Symbolics) и пункте Расчеты (Evaluate) по строке Символические (Symbolically), или используйте кнопку на панели Символы (Symbolics). Ниже приведен фрагмент рабочего документа с вычислением сумм рядов.