Доказательство. От противного. Пусть . Поскольку – непрерывная в точке х₀ , то найдётся некоторая окрестность точки х₀, в которой . Тогда, согласно теореме 1, функция строго выпуклая в этой окрестности, следовательно не имеет точки перегиба. При аналогично получим противоречие.

Теорема доказана.

Замечание 2. Функция может иметь перегиб в точке, в которой вторая производная не существует. Например, . Таким образом,

корни уравнения и точки, в которых не существует, это точки возможного перегиба. На вопрос, являются ли эти точки действительно точками перегиба, отвечает следующая теорема.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀, в которой функция непрерывна. Если вторая производная при переходе через точку х₀ меняет знак, то точка х₀ – точка перегиба (меняет знак означает, что существует некоторая окрестность точки х₀, в которой имеет разные знаки слева и справа от точки х₀).

Доказательство. Согласно теореме 1 в этом случае точка х₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости и началом интервала строгой вогнутости. Следовательно, по определению она точка перегиба. Теорема доказана.

Пример 2.

точки – точки перегиба.

§10. План исследования функции и построение графика

Исследовать функцию, значит определить следующее:

1) область определения, точки разрыва, чётность, нечётность;

2) интервалы монотонности, критические точки, ;

3) интервалы выпуклости-вогнутости, точки перегиба;

4) асимптоты наклонные и вертикальные.

Пример. Исследовать функцию и построить её график (см. рис.).

1. ; нечётная; – бесконечный разрыв.

2. .

.

.

.

3. .

– точка перегиба.

4. Наклонные асимптоты (см. §6 гл. 4) , , .

– вертикальные асимптоты (см. рис.).

§ 11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные понятия

Пусть Т , . Однозначное отображение называют векторной функцией (вектор-функцией) скалярного аргумента . Обозначают .

Точки пространства , упорядоченные n-ки действительных чисел, будем называть векторами, и обозначать . Тогда , где – скалярная функция действительного аргумента , заданная на множестве .

Расстояние в определяется формулой

(1)

(см. §14 гл. 1). Общее определение предела функции, данное в §2 главы 4, справедливо, естественно, и для векторной функции . Тогда запись означает, что

при (2)

Поскольку слагаемые в (2) – неотрицательные, то при , то есть сходимость функции к означает покоординатную сходимость ( и называют координатами векторов и ). Можно доказать (см. доказательство теоремы 3 в §2 гл. 2) и обратное утверждение, то есть если , то .

Общее определение непрерывной функции (см. §7 гл. 4) справедливо и для , а именно, если

, (3)

то непрерывна в точке х₀.

Из (3) следует непрерывность координатных функций , то есть

_.

Распространим теперь понятие производной на векторную функцию .

Определение. Функция называется производной функции в точке , если

. (4)

Сходимость в (4) – это сходимость по метрике пространства , то есть

– расстояние между точками, определяемое формулой (1). Поэтому из (4) следует покоординатная сходимость, то есть

. (5)

Наоборот, если существует

, то (6)

В частном случае, когда , упорядоченная тройка действительных чисел – это геометрический вектор, который изучался в школе и в курсе линейной алгебры.

Теорема. Если функции и имеют производные в некоторой точке , то

1. ;

2. ;

3. .

Доказательство. Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством аналогичной теоремы для скалярных функций (см. §4 гл. 5). Следует только заменить произведения функций на скалярные или векторные произведения векторных функций.

По аналогии со скалярной функцией вводятся понятия первого дифференциала

и дифференциалов высшего порядка

.

Аналогично получается и формула Тейлора

(7)

Чтобы не создалось впечатление, что все свойства скалярной функции переносятся на векторную функцию, докажем, например, что теорема Лагранжа (см. §2 гл. 6) не справедлива для векторной функции.

Рассмотрим частный случай векторной функции, комплексно- значную функцию действительного аргумента

на отрезке .

Очевидно,

.

По теореме Лагранжа имеем

или ,

чего не может быть, так как

.

Следовательно, теорема Лагранжа не справедлива для векторной функции. Не имеет место и правило Лопиталя.

Упражнение. . Доказать самостоятельно.

Замечание. Для векторной функции скалярного аргумента справедлив аналог теоремы Лагранжа, который записывается так:

.