1.Матрица по размерам m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m – строк и n – столбцов.

- элемент матрицы

I – номер строки

J – номер столбца

Основные виды матриц.

1. Квадратная матрица – это матрица размера n*n

А) Верхняя треугольная =0 при i>j

Б) Нижняя треугольная =0 при i<j

В) Диагональная матрица =0 при i j

Г) Единичная матрица

2. Матрица-строка – это матрица размером 1*n

3. Матрица-столбец – это матрица размера m*1

4. Нулевая матрица – все элементы матрицы равны 0

5. Транспонированная матрица – это матрица, в которой все элементы строк данной матрицы расставлены в столбцы и наоборот

2. Операции над матрицами

1. Равенство матриц.

2. Сложение

3. Умножение матрицы на число

4. Умножение матриц.

Умножение возможно, если кол-во столбцов первой матрицы равно кол-ву строк другой. Каждый элемент произведения равен сумме произведений элементов i-й строки I матрицы на элементы j-ого столбца II матрицы.

3. Определители втором порядка

Определителем втором порядка называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами (транспонировать).

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке двух строк или столбцов определителя.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.

4. Общий множитель всех элементов некоторой строки или столбцами можно выносить за знак определителя

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулям, то определитель равен 0.

6. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженной на одно и то же число.

4. Определители 3-го порядка

Методы вычисления:

1. правила треугольников

2. метод понижения порядка. Минором элемента определителя n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из определителя n-ого порядка вычеркиванием i-й строки и j-ого столбца. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

5. Обратная матрица

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную, как справа так и слева, получается единичная матрица.

Если определитель = 0 то обратной матрицы не существует.

7. Системы линейных уравнений

Система линейный уравнений m*n

m – кол-во уровней; n – кол-во переменных; - коэффициент переменной j; – переменная j

решение С. Л. У. – совокупность чисел, при подстановке которых в уравнение, все эти уравнения обращаются в верное равенство.

Система называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если имеет хотя юы одно решение, неопределенной – если имеет множество решений.

2 системы называют эквивалентными, если множество их решений совпадает.

10. - метод обратной матрицы

8. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения элементов. Заключается в том, что с помощью элементарных преобразований приводится равносильной системе ступенчатого или треугольного вида. Из полученной системы последовательно, начиная с последних по номеру элементов находят все остальные переменные.

9. Метод Крамера

1) - С.Л.У. имеет единственное решение

2) и все то система имеет множество решений.

3) и хотя бы один из определителей то система не имеет решений

12. вектор. Линейные операции над ними

Вектор – это направленный отрезок. Длина вектора называется его модулем. Если модуль равен нулю, то вектор – нулевой, он не имеет направления.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной или параллельных прямых

Линейные операции.

1) сложение (правило треугольника, правило параллелограмма, вычитание вектора)

2) умножение вектора на число

13. свойства линейных операций над векторами.

1) - переместительное свойство

2) – сочетательное

3)

4) – распределительный закон

5) - распределительное свойство

14 Линейная зависимость векторов. Базис

– является линейной комбинацией векторов , … , если он может быть представлен в виде …+ , где - некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор разложен по базису , …

Любая пара неколлинеарных векторов в плоскости образует базис на плоскости.

Три вектора называются компланарными если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.