1. Основные понятия математической статистики. Статистический эксперимент. Способы накопления статистической информации. Понятие выборки.
Математическая статистика занимается составлением выводов об имеющихся данных (о модели эксперимента).
Базовое вероятностное пространство (Ω,₣,Ρ)
Частный случай – распределение случайного вектора:
Ω=Х=Rn
; ₣=Дn
– борелевская σ-алгебра ; Ρ – распределение
вероятностей
Получили более
мелкое пространство, которое удобно
использовать при работе с моделями
математической статистики (Х,
Дn,Ρ).
Статистический
эксперимент
– тройка объектов (Х,
Дn,Ρ),
где Ρ={Рθ,θєΘ}
- семейство вероятностей.
Стандартные предположения о семействе Ρ :
(1) Рθ
=Рθ1
* Рθ2
…*Рθn
, т.е.
результат наблюдений (Х1
… Хn)
є Rn
– независимые случайные величины при
V
θєΘ
(2) Рθ1=Рθ2=…=Рθn , т.е. результат наблюдений (Х1 … Хn) є Rn – независимые одинаково распределенные случайные величины (НОРСВ).
Если (1) и (2) выполнены, то (Х1 … Хn) – выборка – набор независимых одинаково распределенных наблюдений.
В задачу математической статистики входит только анализ данных и их интерпретация.
Выбор модели определяется характером полученных данных и не входит в задачу математической статистики. Семейство вероятностей Ρ определяется целью статистических исследований (априорной информацией), поэтому Ρ может быть параметризованно по-разному.
Пусть имеется совокупность результатов эксперимента (генеральная совокупность), тогда выборка – набор элементов однородной генеральной совокупности.
Задача математической статистики – сделать выводы о характере распределения генеральной совокупности по выборке. Роль генеральной совокупности в нашей модели играет теоретическое распределение.
Рθ - теоретическое значение распределения, соответствует распределению генеральной совокупности.
Типы задач математической статистики:
Точное оценивание – по результатам наблюдений выбрать значение Рθє Ρ , которое оптимальным образом согласуется с данными.
Интервальное оценивание - по результатам наблюдений выбрать область
Θ0 (Х1
… Хn)
С Θ т.ч. при V
θєΘ Рθ(Θ0
(Х1
… Хn)
э θ)≥1-α , где α - определенное маленькое
число. Т.е. выбор такого множества,
которое накрывает теоретическое
значение параметра с вероятностью не
меньше (1-α).
Проверка статистических гипотез – по результатам наблюдений выбрать из
Н1… Нn наиболее подходящую, где Нi – взаимоисключающие гипотезы (предположения о значении параметров Нi: θєΘi ; Θi∩Θi=0 ; UΘi=Θ).
2. Примеры параметрических семейств распределений.
1) Распределение Бернулли : Bi(1, p)- биномиальное распределение с параметрами 1 и p.
Дискретное
распределение , сконцентрированное в
точках {0;1} ; P(X1=1)=p.
Параметр θ=p
[0;1]
2)Биномиальное распределение
Дискретное распределение, сконцентрированное в точках {0,1…}
P(X1=k)=Cmk pk (1-p)m-k , k=0,1…m
Параметр θ=(m,p). m N, p [0,1]
3)Семейство распределений Пуассона Pas(λ).
Дискр. распр., неотрицательное, сконцентрированное в точках {0,1…}
P(X=k)= λk\(k!)*exp(-λ), k=0,1… θ = λ
4)Геометрическое распр Geom(p)
Дискретное, значения
N
P(X1=k)=p (1-p)k , k=0,1,… θ =p
5)Нормальное , абсолютно непрерывное распределение N(a, σ2).
p
θ (x)=
Параметр
6) Показательное Exp(α)
Абсолютно непрерывное
Параметр θ = α>0
7)распределение Лапласа L(a,b)
Абсолютно непрерывное
8)Гамма Г(α,p)
Абсолютно непрерывное
