- •Геометрические векторы. Линейные операции с векторами
- •Пример.
- •N10 Метрические соотношения в Rn
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
- •N19 Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
- •Общий случай Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования a (a-инвариантным подпространством), если
- •Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
- •Общее уравнение в матричном виде
- •Гиперболоиды
Линейная
алгебра. Краткий конспект. Лекция 1.
стр.
N1
Геометрические векторы. Линейные операции с векторами
Сначала вспомним известные из школьной программы определения и свойства геометрических векторов.
Определение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок.
Обозначаем: , А — начало, B — конец вектора.
Геометрические векторы также обозначают одной буквой: и т.п.
Определение. Длина вектора — расстояние между точками A и B.
Обозначаем: и т.п.
Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых), одинаково направлены и их длины равны.
Обозначаем: .
Определение. Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, равны по длине и противоположно направлены. Обозначаем: .
Определение. Нулевым называется вектор, имеющий нулевую длину. Направление нулевого вектора не определено. Обозначаем: .
Определение. Суммой векторов и называется вектор , определенный на рисунке (правило параллелограмма или правило треугольника). Обозначаем: .
Определение. Произведением вектора на число называется вектор длины , коллинеарный вектору , направление которого при совпадает с направлением вектора , а — противоположно направлению вектора .
Определение. Ортом вектора называется вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора .
Обозначаем: и т.п. Понятно, что .
Определение. Операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями с векторами.
Известно (нетрудно доказать), что для линейных операций с векторами справедливо:
;
;
;
;
;
;
;
.
Равенства 1-8 справедливы для произвольных векторов и для любых чисел .
N2
Углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит . Если угол прямой, то векторы наз. ортогональными. Определение: Скалярным произведением двух векторов наз. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.
Скалярное произведение векторов а и b обозначается (а,b). т.о., мы можем записать (а,b) = |a| |b| cos,
где ( – угол между векторами а и b. Очевидны следующие свойства операции скалярного умножения:
(1) Скалярное умножение коммутативно, т.е., для любых векторов а и b справедливо равенство (а,b) = (b,а). (2) (а,а) = |а|2 для любого вектора а. (3) Скалярное произведение = 0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них = 0. (4) Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям (e1,e1) = (e2,e2) = (e3,e3) =1 Предложения: [1] Если базисные векторы e1,е2,е3 ортогональны, то компоненты любого вектора а находятся по формулам: 1 = (a,e1)/|e1|2; 2 = (a,e2)/|e2|2; 3 = (a,e3)/|e3|2; В частности, если базис ортонормированный, 1 = (a,e1); 2 = (a,e2); 3 = (a,e3);
[2] Для любых векторов а,b,с и любых чисел и b выполнено равенство (a+b,c) = (a,c) + (b,c). В частности, (а,с) = (а,c) и (a+b,c) = (a,с) + (b,с). Теорема 1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов выражается через их компоненты по формуле (a,b) = 11 + 22 + 33. Теорема позволяет написать выражение длины вектора через его компоненты в ортонормированном базисе: || = 12+22+32 ***, а так же выражение угла между векторами через их компоненты в ортонормированном базисе:
И спользуя формулу ***, мы можем вычислить расстояние между точками, если заданы их координаты в декартовой системе координат. В самом деле, пусть точки А и В имеют соответственно координаты (x,y,z) и (x1,y1,z1). Тогда расстояние между ними равно |AB| = (x1–x)2+(y2–y)2+(z3–z)2.
Векторное произведение:
Определение: Пусть даны векторы a и b. Построим по ним вектор с, удовлетворяющий условиям: (1) |e| = |a| |b| sin (sin0, т.к. 0), где – угол между a и b;
(2) вектор с ортогонален векторам а и b; (3) векторы а, b, с образуют правую тройку векторов. Так построенный вектор с наз. векторным произведением векторов а и b и обозначается [а, b]. Приведенные условия определяют векторное произведение с точностью до равенства, если сомножители – ненулевые векторы. Если хоть один из сомножителей – нуль, то векторное произведение по определению есть нулевой вектор. Из определения вытекает, что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на сомножителях (если сомножители имеют общее начало). Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители коллинеарны (0-ой вектор коллинеарен любому вектору) Предложение: Векторное умножение антикоммутативно, т.е., всегда [а,b] = – [b,а]. Действительно, из определения =>, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор [а, b] коллинеарен вектору [b, а]. Однако, переставляя сомножители, мы долиты изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие (3) определения. Действительно, если a,b,[а,b] – правая тройка, то b,а,[а,b] – левая, а b, а, – [а, Ь] – снова правая тройка.
Смешанное произведение:
Определение: Число (а, [b,с]) наз. смешанным произведением векторов а,b,с и обозначается (а,b,с). Предложения: [1] Смешанное произведение некомпланарных векторов а,b и с по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно положительно, если тройка а,b,с правая, и отрицательно, если она левая. Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b и с, равен (рис) произведению площади основания |[b, с]| на высоту |a| |cos|. Здесь – угол между векторами а и [b,с]. Поэтому мы можем записать V=|[b, c]| |a| |cos| = |(a,[b,с])| = |(а,b,с)|. [5] Смешанное произведение = 0 тогда и только тогда, когда сомножители компланарны (рис). Действительно, (а,b,с) = |a| |b,c| cos, где – угол между векторами а и [b,с]. Равенство |a| |b,c| cos = 0 возможно только тогда, когда выполнено хоть одно из условий: а) |a| = 0. Очевидно, что тогда векторы компланарны; б) |[b, с]| = 0. Тогда b и с коллинеарны и, => а, b и с компланарны. в) cos = 0. Тогда вектор а ортогонален [b,с], т.е. компланарен b и с. Обратное утверждение доказывается аналогично: если а, b и с компланарны и не имеют места случаи а) и б), то имеет место случай в).
N3
Плоскость и прямая в пространстве:
Плоскость Р в декартовой прямоугольной системе координат Охуz может быть задана уравнением одного из следующих видов: (1) Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости; (2) А(х–x0)+В(у–y0)+С(z–z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно нормальному вектору п(А,В,C); (3) x/+y/b+z/c =1 – уравнение плоскости в отрезках, где ,b,с – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox,Оу,Oz соответственно; (4) х cos+y cos+z cos =0 – нормальное уравнение плоскости, где cos, cos, cos – направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости, а p>0 – расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду (4) путем умножения на нормирующий множитель = –sgn D/A2+B2+C2
если плоскость Р задана нормальным уравнением вида (4), а M(x,y,z) – некоторая точка пространства, то выражение (М, P)=x cos+y cos+z cos–p задает отклонение точки М от плоскости Р, Знак (М, Р) указывает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости Р, то (М, Р)>0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то (М, Р)<0. Расстояние (М, Р) от точки М до плоскости Р определяется равенством (М, Р) = |(М,Р) |. Прямая L в пространстве может быть задана:
[1] общими уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0, где коэффициенты A1,B1,C1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, С2, что равносильно её заданию как линии пересечения плоскостей; [2] параметрическими уравнениями
x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt, или в векторной форме, где r0(x0,y0,z0) –радиус-вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, a q(l,т,п) – направляющий вектор прямой; [3] каноническими уравнениями (x–x0/l)=(y–y0/m)=(z–z0/n), что равносильно описанию прямой как линии пересечения трёх плоскостей, проецирующих эту прямую на координатные плоскости.
N4 Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:
Справедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать.
Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу). Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислим определитель разложением по второй строке:
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. (Доказать самостоятельно).
Свойства определителей
Для определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей.
Определитель не изменяется при транспонировании: det AT = det A.
При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.
Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.
Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то определитель умножается на это число: .
Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.
Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.
Если квадратные матрицы A, B и С отличаются только i-й строкой и при этом i-я строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i-х строк матриц A и B, то detC=detA + detB:
Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю: .
Поскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9 справедливы и для столбцов.
Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.
Задачи: вычисление определителя 3-го порядка разложением по первой строке, определители треугольной и диагональной матриц, вычисление определителя приведением к треугольной форме, определители квадратной невырожденной матрицы и обратной к ней.
N5 Матрицы. Основные понятия. Виды матриц. Равенство матриц
Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.
Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:
квадратная матрица, , матрица, у которой одинаковое число строк и столбцов;
матрица-строка, , матрица, у которой одна строка;
матрица-столбец, , матрица, у которой один столбец;
диагональная матрица, квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы раны нулю;
единичная матрица, диагональная матрица, у которой все диагональные элементы — единицы;
нулевая матрица, , , матрица, все элементы которой — нули;
верхняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули;
нижняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули.
Линейные операции с матрицами. Линейными операциями называются операции сложения и умножения на число.
Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых: .
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число: .
Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:
A+B = B+A,
A+(B+C) = (A+B)+C,
α(A+B) = αA+αB,
α(βA) = (αβ)A,
(α+β)A=αA+βA,
1·A=A,
0·A= .
Здесь A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности, — нулевая матрица той же размерности (читается «тэта»), и — произвольные числа.
Умножение матриц
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.
Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов из них равно числу строк второй. Если
то произведением матриц A и B называется матрица
, элементы которой вычисляются по формуле
, ; произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB.
Итак, произведение двух матриц определено, если количество столбцов левого сомножителя равно количеству строк правого сомножителя.
Правило «строка на столбец». Произведение двух матриц имеет столько строк, сколько их у левого сомножителя и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.
Элемент произведения, расположенный в i–й строке и в j -м столбце равен сумме произведений
i -й строки левого сомножителя на соответственные элементы
j -го столбца правого сомножителя.