Основы алгебры логики

1.1 Понятие о логических функциях

Отличительной особенностью логических функций является то, что они принимают значения в конечных множествах. Иначе говоря, область значений логической функции всегда представляет собой конечную совокупность чисел, символов, понятий, свойств и, вообще, любых объектов.

Если область значений функции содержит k различных элементов, то она называется k-значной функцией. Перечень символов, соответствующих области значений функции, называется алфавитом, а сами символы - буквами этого алфавита: N={a₁,a₂,...a_k}.

Логические функции могут зависеть от одной, двух и, вообще, любого числа переменных (аргументов) - х₁,х₂..хm. В отличие от самой функции, аргументы могут принимать значения из элементов как конечных, так и бесконечных множеств. В теоретико-множественном смысле логическая функция n переменных

y= f(x₁,x₂,..x_n) (1.1)

представляет собой отображение множества наборов (n- мерных векторов) вида (x₁,x₂,..x_n), являющихся областью ее определения, на множество ее значений N={a₁,a₂,..a_k}, при условии однозначности этого отображения:

f: (x1,x2,..xn)N (1.2)

Логическую функцию можно также рассматривать как операцию, заданную законом композиции X₁*X₂*..*X_nN, где X₁,X₂,..X_n - множества, на которых определены аргументы.

-----------------------------------------------------------------------------

Бинарное отношение ставит в соответствие паре объектов (a,b) третий объект с. При этом a,b операнды, с - результат операции или композиция объектов a и b. Если a принадлежит А, b принадлежит B, а с принадлежит С, то А*В C - закон композиции.

-----------------------------------------------------------------------------

Логическая функция называется однородной, если она принимает значения из того же множества, что и все ее аргументы, т.е. X1=X2=..=Xn.

Однородная логическая функция рассматривается как закон композиции NⁿN и определяет некоторую n-местную операцию на конечном множестве N.

Областью определения однородной функции y=f(x₁, x₂,..x_n) служит множество наборов (x₁, x₂,..x_n), называемых словами, где каждый из аргументов x_i замещается буквами k-ичного алфавита {0,1,2,..k-1}. Очевидно, число различных слов длины n в k-ичном алфавите равно kⁿ. Т.к. каждому такому слову имеется возможность сопоставить одно из k значений множества N, то общее количество однородных логических функций от n переменных выражается числом k^k^n.

2. Функции одной и двух переменных

2.1Булевы функции одной переменной

Табл.2. БФ одной переменной

X	0 1	Наименование функции
Y0	0 0	const 0
Y1	0 1	x
Y2	1 0	/x
Y3	1 1	const 1

Лишь одна функция этой таблицы нетривиальна - y=/x ^. Эта функция называется "инверсией" или "отрицанием".