- •1.События. Виды случайных событий.
- •2.Пространство элементарных событий.
- •3.Операции над событиями. Алгебра событий.
- •4.Классическое определение вероятности.
- •5.Элементы комбинаторики.
- •6.Аксиомы вероятности.
- •7.Теоремы о вероятностях.
- •8.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
- •9.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •10.Геометрические вероятности.
- •13.Случайная величина дискретного типа. Законы распределения.
- •14.Примеры случайных величин дискретного типа.
- •15.Свойства функции распределения случайной величины.
- •17.Примеры случайных величин непрерывного типа.
- •18.Начальные моменты случайных величин. Математическое ожидание, его свойства.
- •19.Задачи вычисления математического ожидания для некоторых наиболее важных случайных величин.
- •20.Центральные моменты случайных величин. Дисперсия, ее свойства.
- •Задачи вычисления дисперсии для некоторых наиболее важных случайных величин.
- •Плотность распределения нормального закона. Вероятность попадания случайной величины с нормальным законом распределения на заданный интервал
- •Свойства функции Лапласа. Правило трех сигм.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Простейший поток событий.
- •Системы случайных величин. Закон распределения системы двух случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •Функция распределения системы двух случайных величин. Свойства функции распределения.
- •Системы случайных величин непрерывного типа Плотность вероятности, ее свойства.
- •Примеры наиболее важных систем двух случайных величин.
- •Условные законы распределения.
- •Плотность вероятностей и условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины.
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Некоррелируемость, ее связь с независимостью случайных величин.
- •Уравнение регрессии. Прямые регрессии.
- •Закон больших чисел. Лемма Чебышева I. Неравенства Чебышева.
- •Теорема Чебышева. Лемма Чебышева II. Теорема Чебышева (основная).
- •Теорема Бернулли.
- •Понятие о центральной предельной теореме.
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным совокупностям, их свойства. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии св.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал. Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины.
Примеры наиболее важных систем двух случайных величин.
1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y)
Система двух случайных величин (X, Y) называется равномерно распределенной в области D, если совместная плотность f(x,y) случайных величин X и Y имеет вид .
Постоянная С может быть определена: , откуда . Здесь S(D) – площадь области D. Поэтому .
2. Нормальное распределение вектора (X, Y.)
Случайный вектор (X, Y) называется распределенным по нормальному закону (закону Гаусса), если
.
Это распределение имеет пять параметров: . Можно показать, что , , r – коэффициент корреляции, выражающий связь между компонентами X и Y случайного вектора (X, Y).
Условные законы распределения.
Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения этой случайной величины.
Условным распределением компоненты X системы при называется совокупность условных вероятностей:
.
Аналогично определяется условное распределение компоненты Y системы (X,Y).
Используя теорему умножения двух случайных событий, соответствующих данной ситуации, условный закон распределения X при условии, что может быть найден по формулам:
.
Плотность вероятностей и условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины.
Условной плотностью компоненты X при данном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы (X,Y) к плотности компоненты Y: .
Различие между условной плотностью и безусловной плотностью состоит в том, что функция определяет распределение X при условии, что Y принимает значения Y = y, а функция определяет распределения X независимо от того, какие значения принимает Y.
Аналогично определяется условная плотность компоненты Y при данном значении X = x:
.
Формулы можно записать в виде
.
Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:
; .
Условные законы распределения независимых случайных величин равны их безусловным законам. .
Числовые характеристики системы двух случайных величин.
Если закон распределения системы неизвестен (или не может быть построен), используют числовые характеристики системы.
Начальным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й степени X на s-ю степень Y: .
Формулы для начальных моментов :
- для системы (X,Y) дискретного типа: ;
- для системы (X,Y) непрерывного типа: .
На практике наиболее употребительными являются начальные моменты первого порядка: , , которые являются математическими ожиданиями компонент системы (X,Y).
Точку называют центром рассеивания системы на плоскости.
Центральным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степеней соответствующих центрированных величин:
.
Формулы для вычисления моментов имеют следующий вид:
- для системы (X,Y) дискретного типа ;
- для системы (X,Y) непрерывного типа .
Наибольшее применение имеют центральные моменты второго порядка. Два из них представляют собой известные ранее дисперсии величин X и Y:
,
.