1. Системы счисления, используемые на компьютере. Десятичная система, двоичная и 16-ричная системы счисления. Правила перевода.

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Десятичная система, двоичная и 16-ричная системы счисления.

• Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления, числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).

• Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами.

• Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Правила перевода.

• Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

• Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

• Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой .

• Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

• Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

• Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики

2. Арифметические операции в двоичной системе счисления. Понятие прямого, обратного и дополнительного кода. Сложение и вычитание целых чисел в двоичной системе счисления.

Сложение Вычитание

0 + 0 = 1 0 — 0 = 0

0 + 1 = 1 0 — 1 =

1 + 0 = 1 1 — 0 = 1

1 + 1 = 10 1 — 1 = 0

• Прямой код — способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной арифметике. Главным образом используется для записи положительных чисел. При записи числа в прямом коде старший разряд является знаковым разрядом. Если его значение равно 0 — то число положительное, если 1 — то отрицательное. В остальных разрядах (которые называются цифровыми разрядами) записывается двоичное представление модуля числа.

• Обратный код — в нем, как и в прямом коде старший разряд отводится для представления знака числа, но остальные разряды интерпритируются в зависимости от того, положительное число или отрицательное. Обратный код положительного числа неизменный. А обратный код отрицательного числа формируется дополнением модуля исходного числа нулями до самого старшего разряда модуля,а затем поразрядной заменой всех нулей числа на единицу и всех единиц на нули. В знаковом разряде обратного кода у положительных чисел будет 0, а у отрицательных — 1.пример : +28₁₀ = 00011100₂

-28₁₀ = 11100011₂

• Дополнительный код — построен на основе обратного кода, позволяет существенно облегчить арифметические операции над числами разных знаков. Дополнительный код формируется следующим образом: сначала формируется обратный код, а затем к младшему разряду добавляют 1. При выполнении арифметических операций положительные числа представляются в прямом коде, а отрицательные — в дополнительном.

Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.

Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел:

0 — 0 = 0

0 — 1 =

1 — 0 = 1

1 — 1 = 0

При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. Вычитание многоразрядных двоичных чисел реализуется в соответствии с этой таблицей с учетом возможных заемов в старших разрядах.