46

27.Элементарные функции. Их свойства. Построение графиков функций с помощью элем-ных преобразований.

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

1.Степенные y= x ^a с целым показателем.

ЗАМЕЧАНИЯ:

1.к основным элементарным степенным функциям относят лишь степенные функции С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

2. неограничивание области определения интервалом .

I.Пусть а=1, 3, 5, … , то есть а – нечетное.

В этом случае график степенной функции будет иметь вид:

В качестве примера взяты а=1 – черная линия, а=3 – синяя линия, а=5 – красная линия, а=7 – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x - частный случай степенной.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

◦Область определения: x € (-∞;+∞).

◦Область значений: y € (-∞;+∞).

◦Функция нечетная, так как y(-x)=-y(x) .

◦Функция возрастает при x € (-∞;+∞).

◦Функция выпуклая при x € (-∞;0] и вогнутая при x € [0;+∞)

(кроме линейной функции).

◦Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

◦ Асимптот нет.

◦Функция проходит через точки (-1;-1) , (0;0), (1;1) .

II.Пусть а=2, 4, 6, … , то есть а – четное.

В этом случае график степенной функции будет иметь вид:

В качестве примера взяты а=2 – черная линия, а=4 – синяя линия, а=8 – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию – квадратичную параболу – частный случай степенной.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

◦Область определения: x € (-∞;+∞)

◦Область значений: y € [0;+∞)

◦Функция четная, так как y(-x)=y(x).

◦Функция возрастает при x € [0;+∞)., убывает при x € (-∞;0]

◦Функция вогнутая при x € (-∞;+∞).

◦Точек перегиба нет.

◦Асимптот нет.

◦Функция проходит через точки (-1;1) , (0;0) , (1;1) .

III.Пусть а=-1, -3, -5, …

В этом случае график степенной функции будет иметь вид:

В качестве примера взяты а=-9 – черная линия, а=-5 – синяя линия, а=-3 – красная линия, а=-1 – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность ( гиперболу ) - частный случай степенной.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

◦Область определения: x € (-∞;0) U x € (0;+∞). При x=0 имеем разрыв второго рода, так как

Lim(x→0-0) x^a = -∞, lim (x→0+0) x^a = +∞,при а=-1, -3, -5, …. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

◦Область значений: y € (-∞;0) U € (0;+∞).

◦Функция нечетная, так как y(-x)=-y(x).

◦Функция убывает при x € (-∞;0)U (0;+∞).

◦Функция выпуклая при x € (-∞;0) и вогнутая при x € (0;+∞).

◦Точек перегиба нет.

◦Горизонтальной асимптотой является прямая y=0 , так как

k= lim(x→∞) x^a/x =0, b= lim(x→∞) x^a-kx = 0

y=kx+b = 0 при а=-1, -3, -5, … .

◦Функция проходит через точки (-1;-1) , (1;1) .

IV.Пусть а=-2, -4, -6, …

В этом случае график степенной функции будет иметь вид:

В качестве примера взяты а=-8 – черная линия, а=-4 – синяя линия, а=-2 – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

◦Область определения: x € (-∞;0)U (0;+∞).

При x=0 имеем разрыв второго рода, так как

Lim(x→0-0) x^a = +∞, Lim(x→0+0) x^a = +∞ при а=-2, -4, -6, … . Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

◦Область значений: y € (0;+∞) .

◦Функция четная, так как y(-x)=y(x).

◦Функция возрастает при x € (-∞;0), убывает при x€ (0;+∞)

◦Функция вогнутая при x € (-∞;0)U(0;+∞).

◦Точек перегиба нет.

◦Горизонтальной асимптотой является прямая y=0 , так как

L im(x→∞) x^a /x= 0, Lim(x→0+0) (x^a-kx) = 0

y=kx+b+0 при а=-2, -4, -6, … .

◦Функция проходит через точки (-1;1) , (1;1) .

V.Пусть 0<a<1 и а – несократимая рациональная дробь с четным знаменателем (например, а=1/4 или 3/8 ).

В этом случае график степенной функции будет иметь вид:

В качестве примера взяты а=1/4 – черная линия, а=5/8 – синяя линия, а=11/12 – красная линия.

Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.

◦Область определения:x€[0;+∞) .

◦Область значений: y€[0;+∞).

◦Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

◦Функция возрастает при x€[0;+∞) .

◦Функция выпуклая при x€[0;+∞).

◦Точек перегиба нет.

◦Асимптот нет.

◦Функция проходит через точки (0;0) , (1;1) .

Замечание.

Если 0<a<1 и а – иррациональное число, то вид графика степенной функции аналогичен рассмотренным в этом пункте, свойства степенной функции с иррациональным показателем абсолютно схожи.

Замечание о важности несократимости рациональной дроби в показателе степени.

графики функций y=x^2/₆ и y=x^1/₃ не есть одно и то же, если не оговорен момент о несократимости показателя степени . Этим мы НЕ ХОТИМ сказать, что 2/6=/ 1/3, но y=x^2/₆ можно трактовать по-разному, y= x^2/₆ = (6корней х)² или y= x2/6 = (6корней х²) . Удивительно, ни первая, ни вторая функция не соответствуют y=x^1/₃.

В от тому графическая иллюстрация:

В дальнейшем y=x^m_/n будем рассматривать как y= (n корней из x^m)

V I.Пусть 0<a<1 и если числитель и знаменатель рациональной дроби в показателе степени представляет собой нечетные числа, а сама дробь несократима (например, 1/3 или 5/7), то областью определения такой функции принято считать все действительные числа , и область значений будет .

График степенной функции в этом случае будет иметь вид, схожий с:

В качестве примера взяты а=1/3 – синяя линия, а=5/7 – красная линия.

Свойства степенной функции с положительным рациональным показателем меньшим единицы.

◦Область определения: .

◦Область значений: .

◦Функция нечетная, так как .

◦Функция возрастает при .

◦Функция вогнутая при и выпуклая при .

◦Точка (0;0) является точкой перегиба.

◦Асимптот нет.

◦Функция проходит через точки (-1;-1) , (0;0) , (1;1) .

V II.Пусть и если числитель рациональной дроби в показателе степени представляет собой четное число, а знаменатель - нечетное число и сама дробь несократима (например, 2/3 или 6/7 ), то областью определения такой функции принято считать все действительные числа ,и область значений будет .

График степенной функции в этом случае будет иметь вид, схожий с:

В качестве примера взяты а=2/5 – синяя линия, а=6/7 – красная линия.