- •Методическое пособие для учащихся вуЗов По дисциплине: физика.
- •Оглавление
- •Колебания и волны Механические колебания Свободные колебания.
- •Гармонические колебания.
- •Незатухающие колебания
- •Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний.
- •Смещение, скорость, ускорение колеблющейся системы частиц.
- •Энергия гармонических колебаний.
- •Математический маятник, физический маятник, пружинный маятник.
- •Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний одного направления.
- •Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания.
- •Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания.
- •Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность колебательной системы.
- •Вынужденные колебания.
- •Явление механического резонанса.
- •Резонансная частота.
- •Резонанс.
- •Волны в упругой среде.
- •Уравнение плоской бегущей волны.
- •Отличие от уравнения колебаний.
- •Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические.
- •Волновая поверхность, волновой фронт.
- •Волновое уравнение.
- •Частота, период, длина волны.
- •Свойства волн.
- •Энергия волны.
- •Поток энергии.
- •Вектор Умова.
- •Стоячие волны.
- •Интерференция.
- •Координаты пучностей и узлов стоячей волны.
- •Отличие бегущих волн от стоячих.
- •Электромагнитные волны. Гипотеза Максвелла.
- •Источники электромагнитных волн. Волновое уравнение.
- •Скорость распространения электромагнитных волн.
- •Связь со скоростью света в вакууме.
- •Свойства электромагнитных волн: поперечность, синфазность колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей.
- •Энергия электромагнитных волн.
- •Вектор Пойнтинга.
- •Шкала электромагнитных волн.
- •Оптика. Геометрическая и волновая оптика.
- •Границы применимости.
- •Принцип Ферма.
- •Полное внутреннее отражение.
- •Интерференция.
- •Оптическая длина пути.
- •Расчет интерференционной картины от двух источников.
- •Координаты минимумов и максимумов интенсивности.
- •Интерференция в тонких пленках.
- •Полосы равной толщины.
- •Кольца Ньютона.
- •Применение интерференции.
- •Просветление оптики.
- •Дифракция.
- •Принцип Гюйгенса-Френеля.
- •Метод зон Френеля.
- •Дифракция Френеля.
- •Пятно Пуассона.
- •Дифракция в параллельных пучках. Дифракционная решетка.
- •Период дифракционной решетки.
- •Поляризация света.
- •Естественный и поляризованный свет.
- •Плоскость поляризации. Степень поляризации.
- •Закон Малюса.
- •Анализаторы и поляризаторы.
- •Закон Брюстера.
- •Двойное лучепреломление.
- •Интерференция поляризованного света.
- •Оптическая ось кристалла.
- •Главное сечение кристалла.
- •Оптически активные вещества.
- •Вращение плоскости поляризации.
- •Электрооптический эффект Керра.
- •Дисперсия света.
- •Нормальная и аномальная дисперсия.
- •Поглощение света веществом.
- •Закон Бугера-Ламберта.
Вектор Умова.
Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91')
Выделим в среде элементарный объем V такой, что скорость движения частиц dS/dt и деформацию среды dS/dx во всех точках этого объема можно считать одинаковыми. Это означает, что если m – масса всего выделенного объема V, то он обладает кинетической энергией
а потенциальная энергия упругой деформации этого объема
где Е – модуль Юнга, характеризующий упругие свойства среды.
Используя известное выражение m =V (– плотность среды) и зависимость скорости распространения упругих волн в твердой среде от свойств среды
получим
Тогда полная энергия W, которой обладает выделенный объем
, (1.144)
Введем следующие физические величины:
1. Плотность энергии w, [Дж/м3] – суммарная энергия колебаний всех частиц, находящихся в единице объема среды:
2. Поток энергии Ф, [Дж/с]– энергия, переносимая волной через некоторую поверхность S в единицу времени:
3. Плотность потока энергии j, [Дж/(м2 с)] – поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия:
Через площадку S за время t пройдет вся энергия W, содержащаяся в объеме V:
W = wV = wS vt.
Рис. 1.79
Тогда плотность потока энергии:
или в векторной форме
Плотность потока энергии – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора фазовой скорости .
Вектор плотности потока энергии называется вектором Умова. Вектор Умова позволяет вычислить полный поток энергии через определенную поверхность.
На основании (1.144) плотность энергии w в выделенном объеме
Взяв производные по времени и по координате от S(x,t), получим w =А2 2sin2(t – kx + ).
Так как среднее значение , то среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды
<w > = (1/2) А2 2.
Этим значением определяется интенсивность волны. Важно отметить пропорциональность среднего значения плотности энергии квадрату амплитуды волны.
Стоячие волны.
Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
Интерференцией называется явление наложения когерентных волн, при котором происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве, в результате чего в одних его точках наблюдается ослабление, а в других – усиление колебаний.
Когерентными называются колебания (волны, источники), у которых:
1) частоты одинаковые: 1 = 2 = 0;
2) колебания происходят вдоль одного направления (сонаправлены);
3) разность фаз колебаний не изменяется во времени:
–1= сonst
Рис. 1.80
Рассмотрим (рис. 1.80) два когерентных источника S1 и S2, от которых распространяются волны так, что в точке наблюдения (точка М) колебания описываются выражениями
S1(t) = A1 cos (t – k r1) = A1 cos ( t – 1)
S2(t) = A2 cos (t – k r2) = A2 cos ( t – 2)
где r1 и r2 – расстояния от источников до точки наблюдения 1 и 2 – начальные фазы колебаний в точке наблюдения.
В соответствии с теоремой косинусов амплитуда результирующего колебания в точке М имеет вид :
где – – разность фаз колебаний в этой точке.
Из этой формулы следует, что:
1) если = + 2n, (cos = 1), то амплитуда колебаний становится максимальной (A = Amax), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для происходит усиление колебаний;
2) если = + (2n+1), (cos = –1), то амплитуда колебаний становится минимальной (A = Amin), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для происходит ослабление колебаний. В частности, если А1 = А2, то колебаний не происходит вообще – данная частица среды покоится.
Рассмотрим наиболее простой и важный случай интерференции: сложение двух плоских волн, имеющих одинаковую амплитуду и распространяющихся навстречу друг другу. Возникающий при этом колебательный процесс называется стоячей волной.
Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х:
S1 = A cos ( t – kх)
Волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси х:
S2 = A cos ( t + kх)
Результирующая волна получается при сложении
S = S1 + S2
Из тригонометрии известно:
Поэтому
S = S1 + S2 = 2A cos kx cos t,
т. е. амплитуда результирующих колебаний является функцией координаты точки пространства, в которой рассматривается колебание
Aрез = А (х) = 2A cos kx
Анализ выражения Aрез = 2A cos kx
1) если cos kx = 0, то A рез = 0, т.е. точки среды не колеблются (рис. 1.81). Координаты x = xузл точек среды, в которых колебания отсутствуют, называются узлами:
(n = 0, 1, 2,...)
2) если cos kx= + 1, то A рез = Аmax, т. е. амплитуда колебаний соответствующих точек среды максимальна (рис. 1.81). Координаты x = хпучн точек среды, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями:
(n = 0, 1, 2,...)
Из этих формул видно, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами одинаковое и равно /2. Все точки, лежащие по разные стороны узлов колеблются в противофазе, а все точки, находящиеся между узлами, колеблются в одинаковой фазе.
Рис. 1.81