20) Определение общего решения слу. Базисные и свободные неизвестные.

Системой уравнений называется общим решением совместная система A1x1+A2x2+…+Anxn=B (1), если выполняется следующее условие: A1'x1+A2'x2+…+An'xn=B (2) система (2) общее решение сист. (1) условия:1)система (1) и (2) должны быть равносильны 2)система векторов A1,A2,..,An в сист. уравнений (2) явл. Разрешённой системой векторов

Набор неизвестных системы уравнения (1) называются базисными, если векторы при этих неизвестных образуют базис системы A1A2…An не базисные неизвестные принято называть свободными.

21) Однородные СЛУ. Свойства однородной СЛУ. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены=0 однородная система в векторной форме: A1x1+A2x2+…+Anxn= θ вектороно-матричная:AX= θ свойства; 1)если k1,k2-решение ОС,то сумма решений явл. Решением (k1+k2) 2)линейная комбинация векторов k1…kn также будет решенеием Утверждения: 1) если r(A)=n, то система имеет единственное решение(θ) 2) если r(A)<n, то система имеет множество решений ≠ 0

Однородная система — всегда совместна, так как x₁=x₂=x₃=...=x_n=0 является решением системы.

22)Теорема о нулевом и ненулевом решении однородной СЛУ(док-во). Теорема о числе линейно-независимых решений однородной СЛУ.

Теоремы о ненулевых решениях однородной системы :

• Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.

Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что   не превосходит  . В случае   система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при  .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений  , то ранг   системы не превышает числа уравнений  , т.е.  . Таким образом, выполняется условие   и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система   уравнений с   неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система   линейных однородных уравнений, матрица которой   с определителем  , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме  , а это значит, что матрица   вырожденная, т.е. 

• Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

Теорема о числе линейно независимых решений однородной СЛУ

Число линейно-независимых решений однородной СЛУ не превосходит числа n-r(A).

23)Фундаментальная система решений однородной СЛУ. Теорема об условиях существования фундаментальной системы решений однородной СЛУ(док-во).

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Система F1,F2…Fk называется ФСР, если выполняются условия:

а) вектора F1,F2..Fk линейно-независимы

б) k=n*r(A) – число решений равно разности количества неизвестных и ранга системы

Теорема об условии существования ФСР однородной СЛУ

Однородная система уравнений имеет фундаментальную систему решений n-r(A)=0 Д-во: Если r(A)=r, то базис сист. векторов, состоящий из матр. А, состоит из r-векторов. Для определённости первые r векторов образуют базис системы A1…An.Каждый вектор,не вошедший в базис разложим по базису A1…Ar. Ar+1=A1k1_r+1+…+Arkr_r+1 Ar+2=A1k1_r+2+…+Arkr_r+2

…………………………… An=A1k1_n+…+Arkr_n

1. Перепишем эти разложения в следующем виде: -A1k1_r+1-…-Arkr_r+1+Ar+1*1+Ar+1*0+…+An*0= θ -A1k1_r+2-…-Arkr_r+2+Ar+1*0+Ar+2*1+…+An*0= θ ……………………………………………………… -A1k1_n-…-Arkr_n+Ar+1*0+Ar+2*0+…+An*1= θ F1=(-k1_r+1;…;-kr_r+1;1;0;…;0) F2=(-k1­_r+2;…;-kr_r+2;0;1;…;0) …………………………… Fn=(-k1_n;…;-kr_n;0;0;…;1) Вектора F1…Fn явл. Решением ОСУ