- •Основные понятия теория множеств
- •Операции над множествами
- •Функция, ее область определения, способы задания Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Сложные и обратные функции
- •Предел функции Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Бесконечно малые функции, их свойства Бесконечно малые величины
- •Связь бесконечно малых величин с пределами функций
- •Свойства бесконечно малых величин
- •Бесконечно большие функции Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •Сравнение бесконечно малых функций, их эквивалентность Основные эквивалентности.
- •Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Замечательные пределы Первый замечательные предел.
- •Второй замечательный предел.
- •Раскрытие неопределенности
- •Непрерывность функции
- •Точки разрыва, их классификация Точки разрыва функции
- •Асимптоты
- •Производная, ее геометрический, физический, экономический смысл экономический смысл производной
- •Физический смысл производной.
- •Определение производной
- •Задача о касательной
- •Правила дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •Производные основных элементарных функций Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Дифференцирование сложных функций Производная сложной функции
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
- •Дифференциал функции, его свойства Понятие дифференциала и его геометрический смысл
- •Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Теорема ферма
- •Теоремы роля, коши, Лагранжа
- •Правило лопиталя
- •Признаки монотонности функции Признаки возрастания и убывания функции.
- •Экстремумы(локальные)функции
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Признаки вогнутости и выпуклости графиков, точки перегиба
- •Неопределенный интерграл, свойства Понятие первообразной и неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основная таблица интегралов Некоторые табличные интегралы
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла Свойства определенного интеграла
- •Формула ньютона-лейбница Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям и замена переменной в опр. Интеграле Методы вычисления определенного интеграла
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Дифференциальное уравнение первого порядка, их общее частное особое решение
- •Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Дифф. Уравнения высших порядков, их общее и частной решение,задача коши
- •.Линейные диффер. Уравнения н-ого порядка,структура решения
- •Линейные однородные дифф уравнения с постоянными коэф. Метод Эйлера Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Линейные неоднородные диф уравнения с правой частью специального вида. Метод неопр. Коэф
- •Определение функции нескольких переменных, геометрическая интерпретация в возможных случаях предел и непрерывность
- •Частное и полное приращение функции
- •Частные производные Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Полный дифференциал
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Локальный экстремум
- •Условный экстремум
Предел функции Предел функции в бесконечности и в точке
Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:
.
Это предел функции обозначается: или при .
Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .
Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Это предел функции обозначается: или при .
Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .
Признаки существования предела
Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .
Пусть при , .
Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:
(1.1)
или
Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:
, то из неравенств (1.1) следует, что , т.е.:
.
А это и означает, что
Бесконечно малые функции, их свойства Бесконечно малые величины
Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:
.
Связь бесконечно малых величин с пределами функций
Теорема 1. Если функция имеет при ( ) предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при ( ), т.е.
.
Теорема 2. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при ( ), то число есть предел этой функции при ( ), т.е.
.
Свойства бесконечно малых величин
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых величин есть величина бесконечно малая.
По условию и - бесконечно малые величины при . Это означает, что для любого найдутся такие числа , что для всех и удовлетворяющих условиям:
и (1.1)
выполняются соответствующие неравенства:
и . (1.2)
Если взять в качестве числа минимальное из чисел и , т.е. , то неравенству будут удовлетворять решения обоих неравенств (1.1) , а, следовательно, одновременно будут верны неравенства (1.2). Складывая почленно неравенства (1.2), получим, что;
.
Используя свойство абсолютных величин, т.е. , придем к более сильному неравенству:
(1.3)
Итак, для любого существует такое , что для всех и удовлетворяющих условию верно неравенство (1.3). А это означает, что функция есть величина бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.
Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида ) в зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.