Математическая статистика

§1 Основные понятия математической статистики

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

1. определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

2. разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

1.1. Выборки и их виды

Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.

Выборка из генеральной совокупности должна обладать свойствами:

1. каждый элемент выбран случайно;

2. все имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;

3. n должно быть настолько велико, насколько позволяет решать задачу с требуемым качеством, т.е. выборка должна быть репрезентативной.

Принято считать, что при п > 60 выборка большая, или репре­зентативная, а при п < 60 - малая. Такое деление выборки на боль­шую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное л, делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.

Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с ее объемом п. Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирова­ния выборки..

Возможны ситуации, когда генеральная совокупность мала. Например, исследуется время наработки до отказа уникального оборудования, когда в эксплуатации находится заведомо малое ко­личество его экземпляров. Доступного для исследования обо­рудования может быть еще меньше. Поэтому выборка объемом n, близким к объему генеральной совокупности N, может считаться репрезентативной и одновременно малой (п < 60).

Пример. Количество зарегистрированных малых предпри­ятий торговли продуктами питания в городе Новосибирске равно 2436. Для исследования предприятий по объему товарооборота взято 136 предприятий. В данном случае N =2436 - объем генеральной совокупности (все мыслимые предприятия данной катего­рии), п=136 - объем выборки из генеральной совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х₁ п₁ раз, х₂ – п₂ раз, …, х_к – п_к раз, причем , где п – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х₁, х₂,…, х_к  называют вариантами, а п₁, п₂,…, п_к – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты (частости)

Очевидно, что сумма частот равна объему выборки (выборочной совокупности) n , а сумма относительных частот (частостей) равна единице:

.

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk
wi	w1	w2	…	wk

Пример.

При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд: 0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

xi	0	1	2	3	4	5
ni	3	6	5	3	2	1
wi	0,15	0,3	0,25	,15	0,1	0,05

Если в статистическом распределении вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты (относительные накопленные частоты), то такой ряд распределения называют кумулятивным.

Накопленная частота представляет собой сумму частот всех значений, от x₁ до x_i.: F_i = ∑ⁱ_j=1 n_j. По накопленной частоте можно определить, для какой части выборки значения переменной X не превосходят значения x_i.