23.Прямая и плоскость в пространстве
Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:
где а плоскость P – общим:
где
Тогда взаимное расположение прямой L и плоскости P в пространстве можно определить по направляющему вектору прямой L и нормальному вектору плоскости P.
1.
2.
3.
4. координаты точки пересечения могут быть найдены следующим образом. От канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим, после чего подставить найденные значения в уравнение плоскости. Разрешить полученное уравнение относительно параметра t. Найденное значение подставить в параметрические уравнения, что позволит найти значения которые и будут координатами искомой точки пересечения прямой L и плоскости P.
Углом между и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.
.
25. Поверхности второго порядка
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат относительно текущих координат имеет вид
где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.
Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими.
1. Эллипсоид:
2. Гиперболоид
1) эллиптический:
|
2) гиперболический:
|
3. Конус второго порядка:
4. Параболоид
5. Цилиндр
1) эллиптический:
|
2) гиперболический:
|
3) параболический:
Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.
При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов и параллельного переноса системы координат. При наличии же в общем уравнении поверхности смешанных произведений переменных приведение к каноническому виду опирается на теорию квадратичных форм.
В любом случае, общее уравнение поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.
1. – пустое множество точек (мнимый эллипсоид);
2. – точка (0, 0, 0);
3. – пустое множество точек
29Предел функции в точке и на бесконечности
Определение по Коши
Число А называется пределом функции f(x) в точке х0, если функция определена в некоторой выколотой окрестности точки х0 и если для любого сколь угодно малого числа существует такое число что для всех х, удовлетворяющих условию
(1)
выполняется
(2)
Это записывают:
Число А называется пределом функции на бесконечности, если для любого существует число что для всех х, удовлетворяющих условию
выполняется неравенство
Это записывают:
( ).
Определение предела функции в точке (на бесконечности) по Гейне и по Коши эквивалентны.
Функция f(x) называется бесконечно большой при если для всякого числа М > 0 существует что для всех х, удовлетворяющих условию
( )
выполняется неравенство
Это записывают:
.
Если f(x) – бесконечно большая функция при то она не имеет предела в этой точке (на бесконечности). Символ предела в данном случае используют лишь для обозначения.
Функция f(x) называется бесконечно малой при если
.
Свойства предела функции в точке
1. Если функция f(x) имеет предел в точке х0, то существует окрестность этой точки (за исключением, быть может, самой точки х0), на которой функция ограничена.
2. Если существует предел функции f(x) в точке х0, равный то существует такая окрестность точки х0, на которой функция имеет тот же знак, что и А.
3. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке х0, то:
где (3)
(4
где (5)
Аналогичные свойства верны и для предела функции на бесконечности.
Если в результате непосредственного использования формул (3)–(5) возникает неопределенность типа то вначале необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела (то же для неопределенностей ).