10. Перпендикулярные плоскости

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема 10.1 (Признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Пусть – плоскость, – перпендикулярная ей прямая, – плоскость, проходящая через прямую , и – прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны.

Проведем в плоскости через точку пересечения прямой с плоскостью прямую , перпендикулярную прямой . Проведем через прямые и плоскость . Она перпендикулярна прямой , так как прямая перпендикулярна прямым и . Так как прямые и перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны.

11. Углы между прямыми и плоскостями

11.1. Угол между скрещивающимися прямыми

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90° по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые.

По данному ранее определению перпендикулярными называются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Однако иногда скрещивающиеся прямые тоже называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

11.2. Угол между прямой и плоскостью

Пусть – плоскость и – пересекающая ее прямая, не перпендикулярная плоскости . Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой на плоскость , лежат на прямой . Эта прямая называется проекцией прямой на плоскость .

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол считается равным 90°. Если параллельна, то равным 0°.

Так как прямая , ее проекция на плоскость и перпендикуляр к плоскости в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости.

11.3. Угол между плоскостями

Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями.

Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.