18.4. Теорема умножения вероятностей Независимые и зависимые события.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого.

Пример 1. В урне 6 белых и 3 черных шара. Из нее наудачу берут шар. Вероятность появления белого шара равна (событие А). Взятый шар возвращают в урну и снова берут из урны шар. Вероятность появления белого шара при повторном испытании (событие В) так же равна . При этом Р (А) не зависит от появления или не появления события В, а Р (В) не зависит от появления или не появления события А, т.е. А и В - независимые...

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Пример 2. Монета брошена 3 раза. Пусть А, В, С, - события, состоящие в появлении герба соответственно в первом, втором и третьем испытаниях. Ясно, что А и В, А и С, С и В - независимы.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или не наступления другого.

Пример 3. В ящике 100 деталей: 80 стандартных и 20 нестандартных. Наудачу берут деталь, не возвращая ее в ящик. Если появилась стандартная деталь (событие А), то вероятность извлечения стандартной детали при втором испытании (событие В) Р (В)= . Если же при первом испытании вынута нестандартная деталь, то Р (В)== . Таким образом, Р (В) зависит от наступления или не наступления события А, т.е. А и В - зависимые события.

18.5. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Известно, что произведением двух событий А и В называют событие, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р (АВ)=Р (А)  Р (В)

Доказательство: Введем обозначения:

n₁ - число возможных элементарных испытаний, в которых событие А наступает или не наступает;

m₁ - число исходов, благоприятствующих появлению события А (m₁  n₁);

n₂ - число возможных элементарных испытаний, в которых событие В наступает или не наступает;

m₂ - число исходов, благоприятствующих появлению события В (m₂  n₂).

Общее число возможных элементарных исходов (в котором поступает и А и В, либо А и В, либо А и В, либо А и В) равно n₁, n₂. Действительно, каждый из n₁ исходов, в которых появляется или не появляется событие А, может сочетаться с каждым из n₂ исходов, в которых появляется или не появляется событие В.

Из этого числа n_1, n₂ всевозможных исходов благоприятствуют появлению А и В (совмещению А и В) m₁ m₂

Р (АВ)= ,

что и требовалось доказать.

Для обобщения теоремы умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащая либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, А₁, А₂, А₃ - независимы в совокупности, то независимыми являются: А₁ и А₂,, А₁ и А₃, А₂ и А₃, А₁А₂ и А₃, А₁А₃ и А₂, А₂А₃ и А₁.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то они не всегда независимы в совокупности.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

Р (А₁А₂ ... А_n)=Р (А₁) Р (А₂) ... Р (А_n)

Пример. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных, во втором - 7, в третьем - 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся стандартными.

Решение. А₁, А₂,А₃ - соответственно из I, II, III ящика вынута стандартная деталь. Р (А₁)= , Р (А₂)= , Р (А₃)=

причем А₁, А₂,А₃ - независимы в совокупности,

т.е. Р (А₁, А₂,А₃)=Р (А₁)  Р (А₂)  Р (А₃)=   =0,504