- •Кинематика.
- •Векторный способ.
- •Координатный способ.
- •Естественный способ.
- •Связь между естественным и координатными способами.
- •Введем обозначения
- •Скорость и ускорение точки.
- •Ускорение точки.
- •Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения.
- •Скорость точки при естественном способе.
- •Ускорение точки при естественном способе. Касательное и нормальное ускорения.
- •Частные случаи движения точки.
- •Простейшие движения твердого тела
- •Линейные скорость и ускорение точек вращающегося тела.
- •Частные случаи вращательного движения.
- •Сложное движение точки.
- •Теорема сложения скоростей и ускорений в составном движении.
- •Плоско-параллельное движение твердого тела и его свойства
- •Скорости точек при плоском движении. Определение их методом полюса.
- •Мгновенный центр скоростей (мцс). Определение скоростей точек при плоском движении методом мцс.
Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения.
Пусть задан координатный способ, т.е. прямоугольные координаты точки известны как функции времени. Запишем связь между векторным и координатным способами.
(1)
Поскольку в (1) орты , , - постоянные векторные множители, то для определения скорости точки будем дифференцировать (1) по времени, применяя обычные правили дифференцирования, т.е. вынося в каждом из слагаемых орты за знак производной.
(2)
Если записать вектор также через его проекции на оси , то сравнивая это равенство с (2), находим , , (3), т.е. проекциями скорости при координатном способе будут производные от соответствующих прямоугольных координат точки.
Величина скорости будет (4), направление можно определить направляющими косинусами, т.е. косинусами углов между вектором скорости и осями координат:
(5)
Как для направляющих косинусов справедливо тождество (6). Ход определения ускорения при координатном способе полностью аналогичен приведенным вычислениям для скорости. В частности при вычислении вектора ускорения следует дифференцировать равенство (2) для скорости, тогда, применяя те же правила дифференцирования, получим
(7)
т.е. сразу получаем проекции ускорения , , (8), они равны вторым производным от соответствующих координат.
Величина ускорения так же будет
(9),
а направление, по аналогии со скоростью, определяют по направляющим косинусам:
(10)
Для этих косинусов также справедливо тождество (6).
Формулы (2)-(10) полностью определяют векторы скорости и ускорения при координатном способе.
Скорость точки при естественном способе.
_ O
М,t,S
M1,t1,S1
О/
+
Пусть при естественном способе т. М в момент t имела криволинейную координату S, а в последующий момент t1 в положении М1 эта координата стала S1, значит за время Δt=t1-t>0 криволинейная координата изменяется на ΔS=S1-S. Для простоты считаем, что ΔS>0, т.е. точка движется в положительном направлении. Введем также векторный способ задания движения, т.е. т. О/ начала отсчета радиус-вектора движущейся материальной точки. Запишем вектор скорости точки М через предел
Величина скорости тогда будет: (*).
При вычислении придела (*) величина вектора перемещения, т.е. близка к соответствующей длине дуги, т.е. ΔS. Это эквивалентная бесконечно малая (если траектория – гладкая кривая), т.е. , при , .
Поэтому в пределе (*) величину заменим на эквивалентную, т.е. ΔS, тогда или (1), т.е. скорость по величине есть производная от криволинейной координаты по времени.
Замечание: равенство (1) записано в предположении, что координата S возрастает, т.е. что . В общем случае аналогично доказывается, что величина скорости будет (2).
Для записи вектора скорости при естественном способе вводят орт касательной к траектории, направленный в сторону скорости, тогда записывается просто: (3), где величина V определяется формулами (1) или (2).