33. Параметрическое описание пространственных кривых. Модели кривых линий.

Перед тем, как приступить к описанию моделей криволинейных поверхностей, необходимо рассмотреть способы представления и описания пространственных кривых, используемых в качестве направляющих и образующих в процессе формирования сложной поверхности. Их геометрии известны два способа аналитического описания кривых линий:

• явное описание функциональной зависимости F(x, y, z);

• параметрическое описание - описание, в котором используются дополнительные параметры, через которые определяются аргументы функции x(t), y(t), z(t).

Широко используемое в начальных разделах геометрии явное описание кривых имеет следующие недостатки при решении практических задач автоматизации построения трехмерных кривых и поверхностей:

1. Производная функции может достигать значение бесконечности f′(x, y, z)→∞

2. Возникают сложность при проверке принадлежности точки кривой (например, для периодических зависимостей или для зависимостей, имеющих графики с петлями)

В случае использования параметрического описания данная проблема устраняется, т.к. параметрическая форма достаточно легко описывает замкнутые кривые, периодические и другие многозначные функции. Вместо значений производных в параметрическом описании фигурируют касательные векторы, которые всегда имеют конечную длину. Кривые линии и поверхности могут описываться параметрическими уравнениями произвольного порядка. Однако следует иметь в виду, что неправильно выбранный порядок уравнений приводит к ухудшению качества аппроксимации.

При значительных степенях параметрических уравнений также может наблюдаться ухудшение результата за счет возникновения изломов и разрывов. Поэтому на практике наибольшее распространение по- лучили параметрические уравнения третьей степени или параметрические кубические кривые:

Без потери общности можно считать, что значения параметра t лежит в диапазоне t ∈ [0;1]. Для определения гладкости кривых линий будем использовать значение производной:

В прикладной аналитической геометрии используется понятие C (i) -непрерывности, которая определяет функцию, непрерывную на исследуемом интервале и имеющую непрерывные первые i производных. Например, C (0) – непрерывность определяет функцию, не имеющую разрывов, C (1) - непрерывность определяет функцию, имеющую непрерывность касательных, а C (2) - непрерывность, определяет функцию, имеющую непрерывность вектора кривизны.

Конец 33 вопроса.

34. Представление пространственных кривых в форме Эрмита.

Данная математическая модель была представлена в середине XIX века французским математиком Шарлем Эрмитом (Charlie Hermite). В 1963 г. американский инженер Фергюсон ( J.S.Ferguson) впервые использовал эту форму, как базовую модель для САПР самолетостроения.

Основной задачей геометрического моделирования будет являться восстановление кривых и поверхностей с максимально возможной точностью по исходным аппроксимированным описаниям. В этом смысле задача построения сегмента кривой Эрмита формируется следующим образом.

Пусть P 1 и P 4 - концевые точки сегмента кривой, а R 1 и R 4 - касательные в них.

Конец 34 вопроса.