9.2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками A(x₁;y₁) и В(х₂;y₂) плоскости Оху.

 Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора , т.е.

 Деление отрезка в данном отношении

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x₁;y₁) и В(х₂;y₂) в заданном отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что  (см. рис. 26).

Р ешение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка Μ делит  отрезок АВ в отношении λ, если

                                    (9.1)

Но , т. е.  и , т. е. .

 Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при λ = 1, т.е. если AM = MB, то они примут вид

, .    В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом ( , т. к. в противном случае

, т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Т ребуется   найти   площадь   треугольника ABC с вершинами А(x₁;y₁), В(х₂,y₂), С(x₃;y₃).

Решение: Опустим из вершин А, В, С пер­пендикуляры АА₁, ВВ₁, СС₁ на ось Ох (см. рис. 27).

Очевидно, что

Поэтому

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

9.3. Преобразование системы координат.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе О₁х₁у₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (х₀;y₀) в старой системе координат Оху, т. е. О₁ (х₀;y₀). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O₁x₁y₁ через (х';у') (см. рис. 28).

Рассмотрим векторы

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

П од поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O₁x₁y₁ получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть   Μ  произвольная   точка   плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Е сли новая система координат O₁x₁y₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

 

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

10.