Вопросы к экзамену по векторному и тензорному анализу

1. Кривые в евклидовом пространстве

2. Формулы Френе для плоской кривой

3. Кривизна кривой. Длина кривой

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой.

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Пусть непрерывная кривая γ задана параметрически:

(1)

Где Рассмотрим всевозможные разбиения интервала значений параметра [a,b] на m отрезков:

Соединив точки кривой отрезками прямых, мы получим ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Всякая непрерывная кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна. В математическом анализе выводится формула для вычисления длины s отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

4. Простые поверхности в евклидовом пространстве

Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

Если функция F(x,y,z) непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.

Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные:

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

5. Касательная плоскость

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением F(x,y,z)=0. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку

называется касательной плоскостью к поверхности в точке M0

Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0 то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке М0:

Уравнение нормали в этой точке:

6. Длина кривой, заданной на поверхности

7. Первая квадратичная форма поверхности

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхности ― квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Пусть поверхность задана уравнением

r = r(u,v),

где u и v ― внутренние координаты на поверхности;

dr = rudu + rvdv

― дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления смещения из точки M в бесконечно близкую точку M'. Квадрат главной липшицевой части приращения длины | MM' | выражается квадратом дифференциала dr:

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

или в тензорных символах

dr2 = g1,1du2 + 2g1,2dudv + g2,2dv2.

Тензор gi,j называется основным, или метрическим, тензором поверхности.