1 Гармонические колебания. Период, амплитуда, частота ,фаза колебаний. Скорость и ускорение. Энергия гармонич. колебаний.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

x = xm cos (ωt + φ0).

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными.

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t) по времени t и обозначается как или как x'(t) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t) по времени t, или второй производной функции x (t). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:

2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.

12. Интерференция световых волн. Оптическая длина пути.

Интерференцией называется явление перераспределения энергии в пространстве при сложении когерентных волн.

 Складываемые волны

Когерентные волны - волны, характеризующиеся одинаковой частотой и постоянством разности фаз в заданной точке пространства

В случае случайного изменения разности фаз среднее значение интерференционного члена равно 0. Поскольку интенсивность волны прямо пропорциональна её амплитуде, то результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей отдельных волн.

Когерентные источники – источники, дающие волны одинаковой частоты с постоянной разностью фаз и одинаковым направлением поляризации.

Оптической длиной пути между точками А и В прозрачной среды; расстояние, на которое свет (Оптическое излучение) распространился бы в вакууме за время его прохождения от А до В. Оптической длиной пути в однородной среде называется произведение расстояния, пройденного светом в среде с показателем преломления n, на показатель преломления:

l = nS

Для неоднородной среды необходимо разбить геометрическую длину на столь малые промежутки, что можно было бы считать на этом промежутке показатель преломления постоянным:

dl = nds

Полная оптическая длина пути находится интегрированием:

2. Сложение гармонических колебаний.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой () смещений и , которые запишутся следующими выражениями:

Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:

=

На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метода векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длина А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длины векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.

Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А1 +А2) будет максимальна. Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен - π или π, то исходные колебания находятся в противофазе и суммарная амплитуда (А = А1 -А2) будет минимальна.

Сложение двух гармонических колебаний с неодинаковыми частотами.

(Биения и модуляции)

Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса

Модуляции

При сложении существенно отличающихся по частоте гармонических колебаний говорят о модуляции. В радиосвязи модуляция используется для передачи звукового сигнала. Для этого в передатчике на высокочастотный сигнал накладывается низкочастотный звуковой сигнал. Принимаемая в приемнике высокочастотная составляющая фильтруется, а низкочастотный сигнал подается на динамик для воспроизведения звука.

Сложение гармонических колебаний.

1)Одного направления и одной частоты

Уравнение результирующего колебания:

, где и

2)Взаимно перпендикулярные (1)

(2)

Из (1) и (2) =>