- •Высказываниящ, операции над высказываниями: отрицание, «и», «или», «следует»
- •Построение отрицаний
- •Утверждение «следует», «обратное», «противоположное». Доказательство от противного, необходимое и достаточное условия
- •4. Множества, операции над множествами
- •5 Конструкция высказывания с кванторами существования и всеобщности, построение отрицаний
- •6. Координаты точки на прямой, расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном соотношении
- •7. Координаты точки на плоскости, расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном соотношении
- •8. График уравнения. Уравнение кривой. Примеры: график линейного уравнения, уравнение окружности
- •9. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •10. Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •11. Вектор на плоскости, координаты вектора, длина вектора. Операции над векторами. Орт вектора. Условие параллельности векторов
- •12. Скалярное произведение векторов, условие перпендикулярности
- •13. Координаты точки в трехмерном пространстве, векторы в трехмерном пространстве
- •14. Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве
- •15. Векторы. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов
- •16. Матрицы. Сложение, умножение, умножение на вектор
- •17. Определитель второго порядка. Условие равенства нулю
- •18. Определитель третьего порядка. Вычисление разложением по столбцу, по строке и по правилу треугольника.
- •19. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера
- •20. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •21. Числовая прямая, модуль числа и его геометрический смысл, неравенство треугольника
- •22. Функция, область определения, график. Основные элементарные функции и их графики
- •23. Преобразования графиков функций – сдвиг, растяжение
- •24. Последовательность. Примеры
- •25. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малая величина, последовательность, функция.
- •26. Бесконечно большая функция, последовательность, величина
- •27. Теоремы об арифметических операциях над пределами
- •28. Сравнение бесконечно малых величин. Понятие главной части. Сравнение скорости роста степенной, показательной и логарифмической функций.
- •29. Определение производной функции в точки, ее геометрический смысл
- •30. Производные основных элементарных функций
- •31. Производная константы, суммы, произведения, отношения. Производная сложной функции.
- •32. Дифференциал функции в точке. Формула Тейлора
- •33. Применение формулы Тейлора к приблизительным вычислениям
- •34. Условие монотонности функции на промежутке
- •35. Условие экстремума функции в точке
- •36. Выпуклость функции на промежутке, условие выпуклости, точки перегиба
- •37. Схема построения графиков функций
- •38. Функция нескольких переменных. Частные производные. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных
- •39. Получение эмпирических формул по методу наименьших квадратов. Построение линейной эмпирической зависимости по методу наименьших квадратов.
- •40. Первообразная функции на промежутке
- •41. Неопределенный интеграл и его основные свойства
- •42. Метод разложения. Примеры
- •43. Метод подстановки. Примеры
- •44. Определенный интеграл. Определение, физическая и геометрическая
- •45. Формула Ньютона-Лейбница
- •46. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •47. Несобственные интегралы. Определение сходимости
- •48. Понятие о дифференциальных равнениях
- •50. Понятие о средних. Среднее арифметическое, квадратичное, геометрическое, гармоническое и их определяющие свойства. Неравенства между средними.
10. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2.
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
11. Вектор на плоскости, координаты вектора, длина вектора. Операции над векторами. Орт вектора. Условие параллельности векторов
Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец. Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.
Тогда вектор может быть задан двумя числами: и
Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат. При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями: и
Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :
Тогда вектор может быть задан следующим образом:
Очевидно, что:
и
При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями: и
Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям: и
Вектор суммы двух векторов:
Произведением вектора на число называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при < 0.
Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:
Произведение вектора на число:
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) .
12. Скалярное произведение векторов, условие перпендикулярности
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];
2. для любых и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];
3. для любого имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.